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中学 数学 面積の問題
友達から、問題を出されたのですが、解き方がよくわかりませんでした。 どこかの私立の問題らしいのですが、もしかしたら出題されるかもしれないと思い、質問させていただきました。 以下問題文 ※多少、文章表現が理解しにくい部分もあるかと思いますが、ご了承下さい。 まず、どんな三角形でもいいので作図しなさい。 その頂角をAとし、左側をＢ、右側をAとする(三角形ＡＢＣとする)。 その三角形の内部に、どこでもいいので点０を決めなさい。 その点Oに、A,B,Cから線分を引きます。 そして、B・Cから伸ばした線分を三角形に触れるまで延長します。 線分OBを延長し、辺ACに触れた部分をＥ 線分OCを延長し、辺ABに触れた部分をDとする。 すると、 三角形ＡＤＯ＝２０平方ｃｍ 三角形ＡＥＯ＝１０平方ｃｍ 三角形ＯＢＣ＝３０平方ｃｍとなる。 この時、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。 図を言葉で説明したので、若干不備があるかもしれないので、そのへんは組みとっていただけるとありがたいです。 宜しくお願いします。 ※何かの定理を使う方法と、二次方程式と比で解く方法があるそうです。 ちなみに答えは、１０５平方ｃｍになるそうです。
- ksraku
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＞その頂角をAとし、左側をＢ、右側をAとする(三角形ＡＢＣとする)。 「右側をＣとする」のタイプミスですね。 三角形ＡＢＣの面積を単に△ＡＢＣと書くことにします。 ＡＤ：ＢＤ＝△ＡＤＯ：△ＢＤＯ＝△ＡＤＣ：△ＢＤＣ＝△ＡＯＣ：△ＢＯＣ ＡＥ：ＣＥ＝△ＡＥＯ：△ＣＥＯ＝△ＡＥＢ：△ＣＥＢ＝△ＡＯＢ：△ＣＯＢ なので、 ２０：△ＢＤＯ＝（１０＋△ＣＥＯ）：３０ １０：△ＣＥＯ＝（２０＋△ＢＤＯ）：３０ この連立方程式を解くと、 △ＢＤＯ＝４０ △ＣＥＯ＝５ △ＡＢＣ＝１０＋２０＋３０＋４０＋５＝１０５
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- Mr_Holland
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もう一つの「何かの定理を使う方法」の定理は、 メネラウスの定理 の定理のことでしょう。 http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/meneraus/meneraus.htm これを利用してANo.1さんと同じ連立方程式が得られます。 △OCE=x(cm^2), △OBD=y(cm^2) としますと メネラウスの定理から CE/EA×AB/BD×DO/OC=1 ⇒ x/10×(20+y)/y×y/30=1 ∴ x(20+y)=300 BD/DA×AC/CE×EO/OB=1 ⇒ y/20×(x+10)/x×x/30=1 ∴ y(x+10)=600
お礼
そんな定理があったのですね。 解答ありがとうございます。 お二方ベストアンサーだったのですが、解答の早さでベストアンサーを決めさせていただきました。
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