無理不等式の考え方に関して

質問

不明瞭な箇所があればご指摘をお願いします。

3-x<√(x-1)を解きます。

右辺は実数になるので0<x-1であり、0<√(x-1)
3-x<0の時は明らかに成り立つ。
3-x<0 , 3<x …(1)

左辺：3-x≧0の時
3-x<√(x-1) , 3-x≧0 → (3-x)^2<x-1 , 3-x≧0
3-x<√(x-1) , 3-x≧0 ← (3-x)^2<x-1 , 3-x≧0

3-x<√(x-1) , 3-x≧0 ⇔ (3-x)^2<x-1 , 3-x≧0

∴(3-x)^2<x-1 , 3≧x より
x^2-7x+10<0
(x-2)(x-5)<0
2<x≦3…(2)

(1)(2)より
3<x , 2<x≦3を満たすxの範囲は2<xである。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

良いと思いますが、1点だけ。

＞右辺は実数になるので0<x-1であり、0<√(x-1)

　このことと共に√の中身が0以上であることを言っておく必要があります。
　　x-1≧0　∴x≧1

　あとは、求めた条件をまとめれば導いた範囲が得られます。

　　「x≧1」かつ（「3<x」または「2<x≦3」）
　⇔「x≧1」かつ「x>2」
　⇔「x>2」

お礼

参考になりました、ありがとう御座います！

>>√の中身が0以上であること
>>x≧1

忘れずに明記しておきます。

回答No.2

alice_44

細かい点：

場合分け二段目の
　　3-x<√(x-1) , 3-x≧0 → (3-x)^2<x-1 , 3-x≧0
　　3-x<√(x-1) , 3-x≧0 ← (3-x)^2<x-1 , 3-x≧0
の２行は、何をやってるのか見え難いので、
　　3-x≧0の下で
　　3-x<√(x-1) ⇔ (3-x)^2<x-1
と書いてしまったほうが良いような気がする。
「かつ」を「 , 」と表記するのも、俺記法なので
読み手に伝わる保証がない。

後半の
　　(x-2)(x-5)<0
　　2<x≦3
は、間に
　　2<x<5 かつ 3≧x
の行を置いたほうが、話の流れが見えると思う。

大切な点：

最後に、その解が 0<x-1 を満たしていることには
一言触れなくてはいけない。これは必須。

お礼

いつもお世話になります、alice_44さん。

>>最後に、その解が 0<x-1 を満たしていることには
>>一言触れなくてはいけない。これは必須

3-x<0 より 3<xの部分で1<xを満たしているので言及しなくてよいと勘違いしてました…

>>俺記法

元々、文系なので結構勘違いがあると思います。
最近は統計の課題で”小数点第n位未満を四捨五入する”という表現を使って、すべて”点”に×を付けられました。
正確には”小数第n位未満を四捨五入する”という表現だったようです…orz

分り易いご指摘、有難うございます。