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等式証明（シグマ記号入り）
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式を変形してやるなら xΣ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)の部分を (1+x)Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1)-Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1) と分けて整理していくとうまくいくと思います。 上の式にした後は(x+1)の次数が前と後ろの項で違うので それをそろえてみてください。
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- endlessriver
- ベストアンサー率31% (218/696)
数学的帰納法を使わなくても出きる方法を紹介します。この場合は簡単になります。 表現の簡単化のためr=1+x Sn=Σ[k=1,n]ｋ(1+x)^(k-1) = Σ[k=1,n]ｋr^(k-1) Rn=Σ[k=1,n](1+x)^(k-1) = Σ[k=1,n]r^(k-1) とおきます。 すると(1-r)Sn=Rn-nr^n となります。・・・・(1) これは等比級数Rnの和を求める方法と同じでΣの中を１つづらして計算しても、Snと-rSnの列を１つずらせて計算しても両端以外の各項は kr^(k-1) - (k-1)r^(k-1)=r^(k-1) となることから判ります。 問題の式は (r-1)Sn+R(n+1)=(n+1)r^n を証明することですが(1)式をこの左辺に代入すればSn,Rnを求めることなく簡単に解けます。
- oyaoya65
- ベストアンサー率48% (846/1728)
＞それとも左辺を計算させて右辺に一致させるのではなく数学的帰納法を使うのでしょうか？ 数学的帰納法でやってみたところ 上手く行きました。 この方法でも上手く行くことをお知らせしておきます。
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