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数学的帰納法の等式の証明
数学的帰納法の等式の証明がわかりません。 良くわからないのでわかる方がいましたら説明をお願いします。 1二乗+2二乗+3二乗...n二乗=1/6n(n+1)(2n+1)・・・(1) n=1のとき(1)は 左辺=1、右辺1/6*1*2*3=1 よって(1)はn=1もとき成り立つ。 (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。 n=k+1のとき 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2) 左辺=1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗 =1/6k(k+1)(k+2)+(k+1)二乗 =1/6(k+1)(k(2k+1)+6(k+1)) =1/6(k+1)(2k二乗+7k+6) =1/6(k+1)(k+2)(2k+3) =1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1) よってn=k+1のとき(1)は成り立つ。 全ての自然数nについて(1)は成り立つ。 という問題なんですが・・・。 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗の (k+1)二乗はどこから出てきたんですか? どうしてもこれが何処から出てきたのかわかりません。 よろしくお願いします。
- pete52
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> (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、 > 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。 > n=k+1のとき > 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2) この部分が変です。正しくはこんな感じになると思います。 ******************************************* (1)がn = kの時にが成り立つと仮定する。 つまり 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) が正しいと仮定する。 この時n = k + 1でも(1)が成り立つ事を示す。 ******************************************* 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)が正しい事を示すのではなくて、 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)は正しい等式だと見なすんです。 そしてこの「正しいと仮定した等式」を用いて、 (1)がn = k + 1でも成り立つ事を示すんです。 証明の続きは次の通りになります。 ******************************************* 成り立っていると仮定している 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) の両辺に(k+1)二乗を加える。 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) ↓ 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)二乗 となる。この等式の右辺を式変形すると (右辺) = 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)二乗 = … = 1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1) よって 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)二乗 ↓ 1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 + (k+1)二乗 = 1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1) となって、n = k + 1の時も(1)が成り立つ事が言える ******************************************* > 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗の (k+1)二乗はどこから出てきたんですか? 後半の証明の先頭~3行目までの部分です。 成り立っていると仮定している「1二乗+2二乗+3二乗...k二乗 = 1/6k(k+1)(2k+1)」の両辺に、 (k+1)二乗を自分で勝手に加えたんです(等式変形なので問題はないですよね?)。 (1)にn = k + 1を代入した等式が成り立つ事を示したいので、 とりあえず「(1)にn = k + 1を代入した等式の左辺」を無理矢理作ってます。 後は右辺を上手く式変形して、「(1)にn = k + 1を代入した等式の右辺」にしてあげるんです。
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- hugen
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1^2+2^2+3^2+・・・+n^2 で n が k+1 の場合 1^2+2^2+3^2+・・・+(k+1)^2
お礼
答えていただき、ありがとうございます。
- alice_44
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> (k+1)二乗はどこから出てきたんですか? (a) ある式が、n=1 のとき成り立つ。 (b) その式が n=k のとき成り立っていれば、n=k+1 でも成り立つ。 という二つの条件が成立していれば、その式は任意の自然数 n で成り立つ。 …というのが、数学的帰納法。数学的帰納法は、自然数の定義の一部です。 (k+1)^2 は、この (b) の後半部分から出てきたのです。 質問文中の証明は、(b) の構成が全くオカシイ。 > (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、 > 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) は、これを示せばよいのではなく、 これが成り立つことを仮定したのです。その仮定の下で、 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + (k+1)^2 = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3) と示せばよい。 それが、(b) の言っていることです。 > n=k+1のとき > 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2) > 左辺=1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗 その書き方だと、「左辺」が何の左辺だか、よく解りません。 ひとつ上の行との関係が全く不明…というか、誤解の元となっています。 以下のように改定してみては、どうでしょう。 # (1)がn=kのと成り立つと仮定すると、 # 1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(k+2)。 # これを仮定した下で、n=k+1のとき # 1二乗+2二乗+3二乗+...(k+1)二乗=1/6(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)と示せばよい。 # # 左辺=1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗 # =1/6k(k+1)(k+2) + (k+1)二乗 # =1/6(k+1)(k(2k+1)+6(k+1)) # =1/6(k+1)(2k二乗+7k+6) # =1/6(k+1)(k+2)(2k+3) # =1/6(k+1)((K+1)+1)(2(k+1)+1) # よってn=k+1のとき(1)は成り立つ。 # # よって、数学的帰納法より、 # 全ての自然数nについて(1)は成り立つ。
お礼
答えていただき、ありがとうございます。 参考にさせていただきました。
- Mr_Holland
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>1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗+(k+1)二乗の (k+1)二乗はどこから出てきたんですか? ここは n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1 でも成り立つことを示すために出した式です。 最初の式で nにk+1を代入した式になっていますよね。 ここが数学的帰納法のミソです! 以下に、数式を整理して、ポイントを解説します。 【証明すべき等式】 Σ[i=1→n] i^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1) (1) n=1 のとき (左辺)=(右辺)=1 となり成立。 (質問者さんの解答でOKです。) (2) n=k のとき Σ[i=1→k] i^2 =(1/6)k(k+1)(2k+1) が成立すると仮定して、 Σ[i=1→k+1] i^2 =(1/6)(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1} が成り立つことを示します。 (ここの質問者さんの記述がいけません。 「n=kのとき成立」 ⇒ 「n=k+1のときも成立」を示さなければなりません。) (左辺)=Σ[i=1→k+1] i^2=Σ[i=1→k] i^2 +(k+1)^2 =・・・=(右辺) (この式変形はOKです!)
- koko_u_u
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>1二乗+2二乗+3二乗+...k二乗=1/6k(k+1)(2k+1)と示せばよい。 それは仮定そのものです。
お礼
答えていただき、ありがとうございます。
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お礼
答えていただき、ありがとうございます。 納得しました^^