空間ベクトルの問題

質問

空間ベクトルの問題を教えて下さい！

一辺の長さが１の正四面体がある。点Ｄを、Ｂ、Ｃ、Ｄがこの順にあり、かつ∠ＯＤＣ＝３０゜となるようにとる。また、直線ＡＢ上にＡＰベクトル＝ａＡＢベクトル(ａは実数)となる点Ｐをとり、線分ＤＰを１：２に内分する点をＱとする。

(１)ＯＡベクトル・ＯＢベクトル＝ア/イ、ＯＢベクトル・ＯＤベクトル＝ウ
であり、
ＯＤベクトル＝エＯＢベクトル＋オＯＣベクトル
である。
またＯＱベクトル＝(カ－キ)/クＯＡベクトル＋(ケ－コ)/サＯＢベクトル＋シ/スＯＣベクトル
と表せるから、ａ＝セのとき、点Ｑは線分ＡＣを１：ソ/タ に外分する。

(２)｜ＯＱ｜ベクトルの二乗＝チ/ツ(ａ^2－テａ＋トナ)
であるから、｜ＯＱ｜ベクトルが最小となるのはａ＝ニ/ヌのときであり、このとき最小値は√ネノ/ハである。

ア～オは自分で調べて解いたのですが、その後が分かりません(T_T)

答えが手元に無いので、簡単で良いので解説を付けて教えていただけるとありがたいです

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

見づらくなりますので「ベクトル」という語の表記は省略します。

(1) OA・OB=OB・OC=OC・OA=1×1×cos60°=1/2
　　OB・OD=0　　　（∵　∠DOB=90°　（∵　∠OCB=2∠ODB=60° と　円周角と中心角の定理から）
　　OD=OB+BD=OB+2BC=OB+2(OC-OB)=-OB+2OC

　　OP=OA+AP=OA+aAB=OA+a(OB-OA)=(1-a)OA+aOB
　　OQ=(2/3)OD+(1/3)OP=(2/3)(-OB+2OC)+(1/3){(1-a)OA+aOB}=(1-a)/3 OA+(a-2)/3 OB +(4/3)OC

　点Qが直線AC上にあるとき　OQのOBの成分は0となるので　a=2
　このとき　OQ=(-1/3)OA+(4/3)OC となるので　点Qは　線分ACを 4:1=1:(1/4) に外分する。

(2)
|OQ|^2
={1-a)/3 OA+(a-2)/3 OB +(4/3)OC}^2
=(1/9){(1-a)^2+(a-2)^2+16}+(1/9)(1/2)[(1-a)(a-2)+4{(1-a)+(a-2)}]　　（∵　|OA|=|OB|=|OC|=1, OA・OB=OB・OC=OC・OA=1/2　）
=(1/6)(a^2-3a+12)

=(1/6)(a-3/2)^2+13/8

　従って、a=3/2 のとき|OQ|は最小になって　この最小値は　√(13/8)=√26/4　となります。