空間ベクトル証明問題：P、Q、R、Sが同一平面上にある条件
- 空間ベクトルの証明問題であり、四角形ABCDを底面とする四角すいOABCDについて、ベクトルOA＋ベクトルOC＝ベクトルOB＋ベクトルODを満たしていることが与えられている。
- 問題では、0と異なる４つの実数p、q、r、sを用いて４点P、Q、R、Sを定義しており、P、Q、R、Sが同一平面上にある条件を示す必要がある。
- 結論として、1/p + 1/r = 1/q + 1/sが成り立つことを示せば、P、Q、R、Sが同一平面上にあると言える。
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空間ベクトルの証明問題です。
「四角形ABCDを底面とする四角すいOABCDは、ベクトルOA＋ベクトルOC＝ベクトルOB＋ベクトルODを満たしており、0と異なる４つの実数p、q、r、sに対して４点P、Q、R、SをベクトルOP＝pベクトルOA、ベクトルOQ＝qベクトルOB、ベクトルOR＝rベクトルOC、ベクトルOS＝sベクトルODによって定める。 このとき、P、Q、R、Sが同一平面上にあれば 1/p + 1/r = 1/q + 1/sが成り立つことを示せ。」 という問題です。ここまで解答したのですが、まだ欠けているような気がするので…ご指摘お願いします。 (ベクトルを省略させていただきます) 題意より、OA-OB=OD-OC よってBA=CD また、OA-OD=OB-OC よってDA=CB したがって、四角形ABCDは平行四辺形 P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、四角形ABCD∽四角形PQRS よって、OA+OC=OB+ODより、 1/pOP+1/rOR=1/qOQ=1/sOS したがって、1/p+1/r=1/q+1/s
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こんばんわ。 少し「飛躍」してしまっているところがあると思います。 1) まず、質問の中でも書かれているとおり、四角形ABCDは平行四辺形であることが示されます。 すると、AC→＝ AB→＋ AD→と表すことができます。 2) 「P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、四角形ABCD∽四角形PQRS」 これは言えません。 これが言えるのは、ABCDと PQRSが平行なときだけです。 つまり、平行でないときもあるということです。 3) 同一平面上にあるということは、 ・3点で作られるベクトル 2つ（たとえば、PQ→, PS→）を考え、 ・もう 1点について、それらの線形結合として表すことができる。 （点Rに対して、PR→＝α*PQ→＋β*PS→と表すことができる） ということです。 位置ベクトルの原点は、点Oとした方がわかりやすいので OR→＝ r* OC→ OR→＝ OP→＋ PR→ のように表すのがよいでしょう。
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