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2元1次方程式とグラフ
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kuro524さん、こんばんは。 >2つの直線l:x+2y-4=0,m:x-y-1=0の交点Pの座標は(ア)となる。 これは、x,yの連立方程式とみて、解けばいいですね。 x+2y-4=0 x-y-1=0 これから、y=x-1として、lの式に代入すると、 x+2(x-1)-4=0 3x-6=0 x=2 y=1 となるので、交点Pの座標は、(2,1)と求められます。 >また直線y=ax-1とl,mの交点をそれぞれA,Bとするとき△PABの面積が9となるaの値は(イ)である。 こちらは、ちょっと難しいですが、 y=ax-1 と、直線l,mとのそれぞれの交点の座標をまず出しましょう。 y=ax-1とx-y-1=0との交点Bをまず求めます。 x-y-1=0より、y=x-1を代入して y=ax-1=x-1 (a-1)x=0 a=1のとき、2つの直線は、重なり同じ直線となる。 ここでは、直線は重ならない(三角形ができるためには重なってはいけない)ので a≠1 よってx=0このとき、y=-1 つまり、x-y-1=0のy切片(0,-1)が交点Bとなります。 y=ax-1とx+2y-4=0の交点Aを求める。 x+2y-4=0より、2y=4-x,y=(4-x)/2 これを代入して y=ax-1=(4-x)/2 2(ax-1)=4-x 2ax-2=4-x (2a+1)x=6 ここで、a=-1/2のとき、0=6となっておかしいので、a≠-1/2 このとき、 x=6/(2a+1) また、このときy={4-6/(2a+1)}/2=(4a-1)/(2a+1) となるので、交点Aは(6/(2a+1),(4a-1)/(2a+1)) となります。 これは、aの値が変化するにつれて、変化しますが 点Bおよび点Pの座標は一定ですね。 このことから、点Aから直線BPにおろした垂線の足をHとすると、 (三角形ABPの面積)=(底辺BP)×(AHの長さ)×1/2・・・(☆) で表されることに注目しましょう。 さて交点Aは(6/(2a+1),(4a-1)/(2a+1)) からHまでの距離|AH|は、 |AH|=|1*6/(2a+1)-1*(4a-1)/(2a+1)-1|/√(1^2+1^2) =|-6(a-1)/(2a+1)|/√2=|6(a-1)/(2a+1)|/√2 となります。 あと、|BP|=√{(2-0)^2+(1+1)^2}=2√2 であることから、 これを(☆)に代入すると、 三角形ABPの面積={|6(a-1)/(2a+1)|/√2}*2√2*1/2=9 整理して、 6*|(a-1)/(2a+1)|=9 ここで、絶対値がついているので、場合わけしないといけません。 (絶対値の中身)≧0のときと (絶対値の中身)<0のときで場合わけです。 (a-1)/(2a+1)の符号を調べる⇔(a-1)(2a+1)の符号によって場合わけ 1) (a-1)(2a+1)≧0のとき、 すなわち、a≦-2,-1/2<aのとき(←a=-1/2は含まないことに注意する) このとき、絶対値はそのままはずれて、 6(a-1)/(2a+1)=9 6(a-1)=9(2a+1) 6a-6=18a+9 12a=-15なので、a=-5/4 これは条件を満たす。 2) (a-1)(2a+1)<0のとき すなわち、-2<a<-1/2のとき、 -6(a-1)/(2a+1)=9 -6(a-1)=9(2a+1) -6a+6=18a+9 24a=-3 a=-1/8 これは、条件を満たす。 よって1)2)の場合から、条件を満たすaの値は -5/4と-1/8である。 これは、かなり計算がややこしいですね。 おちついて交点を求めてから、場合わけすることが必要になってきます。 頑張ってくださいね。
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- mirage70
- ベストアンサー率28% (32/111)
l:x+2y-4=0,m:x-y-1=0のmを2倍して、Iに足せばでてきます。(I+2*m) 此により、I,mの交点は、(2,1) 直線y=ax-1とm:x-y-1=0の交点は、(0,-1) よって、2点(2,1)、(0,-1)と後1点は、 直線y=ax-1と直線l:x+2y-4=0の交点と云うことが判ります。即ち、直線l:x+2y-4=0の上に交点があると言うことが判りますので、この交点のX座標をAとすると、Y座標は(-A/2)+2と言うことが判ります。この時の注意として、A>2とA<2に分けて別々に計算する必要がでてきます。 A>2のときには、(2,1)よりy=1の直線を引き、(A,(-A/2)+2)より、此を満たすX軸に平行な直線を引き、次に(-A/2)+2)よりY軸に平行な直線を引き、Y軸、及び此等の直線に囲まれた長方形の面積を計算して、不要の3個の3角形の面積を引けば此が9と云うことで、Aの値を求めて、次に此のY座標((-A/2)+2)を求めて、(0,-1)を利用して、傾きを求めれば、aが求まります。 同様に、A<2の時も同様な操作を繰り返せばよいです。
- eatern27
- ベストアンサー率55% (635/1135)
私がこの問題にであったらどう考えてどう解くかを書いてみます。 (ア) lとmを連立すれば解ける。 (イ) 直線mもy=-ax-1も点(0,-1)を通るから点Bの値はaによらず、(0,-1)だ。 って、ことは、PB=2√2で一定だ。 三角形の面積公式は底辺×高さ÷2だから、PBを底辺とみれば、高さが9√2/2であればよい。高さってのは点Aと直線mの距離のことだから、A(x、y)とおけば、 点と直線の距離の公式でx、yの関係式が作れる。 点Aは直線l上にある点だから、lの方程式に代入すれば、x、yの関係式が作れる。 x、yの関係式が2本できたから、x、yの値が求まる。つまり、点Aの座標が求まる。 点Aと点Bの傾きがaだから、aも求まる。
- kohalu
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(イ)は分からないので(ア)のみ 回答させて下さい… 交点ってことは交わるのですから、 l、mの式がイコールでつながればいいんです。 -1/2x+2=x-1 って式を解いてxを求め、 そしてyに代入したら(2,1) が求められますよ!
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