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0<x<π/2のとき、不等式sinx+tanx>2xが成り立つことを証
0<x<π/2のとき、不等式sinx+tanx>2xが成り立つことを証明せよ。 f(x)=sinx+tanx-2xとおいて微分することは分かったのですが、 増減表を書くべきなのか、のような、詳しいところが分かりません; 詳しい解答をよろしくお願いします!
- coralvenus
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- mister_moonlight
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ごく初歩的な愚かしいミスに気がついたので、修正しておく。 xy平面上に原点Oを中心とした単位円を書き、A(1、0)とし単位円上の一点をP、OPを延長し点Aで立てた垂線との交点をBとする。 ∠xOP=θ (0<θ<π/2)とすると、P(cosθ、sinθ)、B(1、tanθ)となる。 又、△POA<扇形OPA<△BOA であるから、tanθ>θ>sinθ ‥‥(1) が成立する。 又、△OAB=△OAP+△ABP ‥‥(1) Pで引いた接線とABとの交点をCとすると、扇形OAP<△OAP+△ACP ‥‥(2) ∠CPB=∠R(90°)から、BC>CP=CA より △BCP>△APC‥‥(3) よって、△OAP+△OAB=sinθ+tanθ=2△OAP+△ABP>2(△OAP+△APC)>2(扇形OPA)=2θ であるから、sinθ+tanθ>2θ 。
- mister_moonlight
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>微分することは分かったのですが、 微分しなくても解ける、数IIの範囲で十分。 xy平面上に原点Oを中心とした単位円を書き、A(1、0)とし単位円上の一点をP、Pを延長し点Aで立てた垂線との交点をBとする。 ∠xOP=θ (0<θ<π/2)とすると、P(cosθ、sinθ)、B(1、tanθ)となる。 又、△POA<弧PA<△BOA であるから、tanθ>2θ>sinθ ‥‥(1) が成立する。 よって、sinθ>0 と (1)から sinθ+tanθ>sinθ+2θ>2θ つまり、sinθ+tanθ>2θ が成立する。
- info22_
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f(x)=sinx+tanx-2x f'(x)=cosx+sec^2(x)-2=cosx+1+tan^2(x)-2 =cosx+tan^2(x)-1 ={cos^3(x)+sin^2(x)-cos^2(x)}/cos^2(x) ={cos^3(x)+1-2cos^2(x)}/cos^2(x) =(1-cosx)(1-cos^2(x)+cosx)/cos^2(x) 0<x<π/2のとき 0<cosx<1なので f'(x)>0 ∴f(x)は単調増加関数 f(0)=0なので f(x)=sinx+tanx-2x>0 ∴sinx+tanx > 2x
- toriton_blue
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増減表を書いてf(x)が0<x<π/2のどんな場合においても0より大きくなる事を証明する必要があります
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