理想気体の分子の運動エネルギーを求める問題が分かりません．

質問

理想気体の分子の運動エネルギーを求める問題が分かりません．
「底面積S[m^2]，長さL[m]の直方体中に理想気体が入っている．1[m^3]中の分子数をν(ニュー)とする．分子の速度をv[m/s]とすると，t秒間に一つの底面が受ける力積は(1)[kg*m/s]であるから，圧力pは(2)[N/m^2]である．」
という穴埋め問題が分かりません．

(1)は分かったのですが（答え(mνSv^2t)/3．単位は問題とは違い，力積なので[N*s]だと思いました．）(2)が分かりません．
t[s]で(1)の力積がかかるので(mνSv^2)/3[N]かかる．
この力がS[m^2]の底面にかかるのでその圧力は(mνv^2)/3[N/m^2]だと思いました．
しかし，答えには2(mνv^2)/3とありました．
2倍になっているのはなぜですか？

自分の答えが正しいと思ったのはpV=nRTより，アボガドロ数をNoとおくと
(mνv^2)/3*SL=SLν/No*RTが成り立つ．
そして運動エネルギー(mv^2)/2=3/2*RT/Noの式が成り立つからです．

どうすれば答えにたどり着けるのですか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

>答え(mνSv^2t)/3．単位は問題とは違い，力積なので[N*s]だと思いました．

単位についてですが，力積と運動量の単位は同じですから，どちらでもいいのです。

弾性衝突により，底面に垂直な運動量成分mVが-mVになるわけですから，分子が受ける力積は運動量変化に等しく，
-mV - mV = -2mV
したがって，底面が受ける力積は作用反作用の法則により，2mV

t秒間の衝突回数は，Vt/(2L)
t秒間に受ける力積は，ft = 2mV×Vt/(2L) = mV^2t/L
1分子当りの力は，f = mv^2/(3L)　∵V^2 = v^2/3
全分子で，F = mv^2/(3L) × νSL = νmv^2S/3
したがって，圧力は　P = F/S = νmv^2/3

あなたの結果が合っているようですね。

お礼

ありがとうございます．
力積として捉える場合は[N*s]，運動量として捉える場合は[kg*m/s]と聞いたことがあったのでそう思っていました．意味（？）としては同じなのですね．
また自分の答えで合っているのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

okormazd

「底面積S[m^2]，長さL[m]の直方体中に理想気体が入っている．1[m^3]中の分子数をν(ニュー)とする．分子の速度をv[m/s]とすると，t秒間に一つの底面が受ける力積は(1)[kg*m/s]であるから，圧力pは(2)[N/m^2]である．」
↓
「底面積S[m^2]，長さL[m]の直方体中に理想気体が入っている．分子の質量をm[kg]，1[m^3]中の分子数をν(ニュー)とする．分子の速度をv[m/s]とすると，t秒間に一つの底面が受ける力積は(1)[kg*m/s]であるから，圧力pは(2)[N/m^2]である．」

以下，考え方の流れ。
運動量変化が，力積です。

運動量：P=mvとする。
力はニュートンの第２法則から，
F=m・d^2x/dt^2=m・dv/dt=dP/dt
よって，Fdt=dPだから，
力積：FΔt=∫(t1→t2)Fdt=∫(t1→t2)dP=P(t2)-P(t1)=ΔP
で，運動量変化が，力積ですね。

L方向にvの速度で運動している分子が壁にぶつかって跳ね返り，速度-vで反対方向に動くとします。
このときの運動量変化は，

ΔP=-mv-mv=-2mv　(上の式のP(t1)=mv,P(t2)=-mvです)

になります。
１個の分子が１度衝突して，反対側の壁で跳ね返って，もう１度ぶつかるまでの時間間隔(往復時間)は，

2L/v

です。
したがって，単位時間当たりの運動量変化は，

ΔP/(2L/v)=-2mv/(2L/v)=-mv^2/L　

です。これは，力積(運動量の変化)を時間で割ったものだから，分子が受ける力です。
壁が受ける力は，

f=mv^2/L

になります。

質問に即して考えれば，縦・横・高さ方向それぞれに運動している分子が1/3ずつで，みんな同じ速度(平均速度でもいい)で運動していて，衝突など無視すれば，
壁に衝突する分子数は，

νSL/3

で壁が受ける力は，全体では，

F=mv^2/L*(νSL/3)=νmv^2S/3

したがって圧力は，

p=F/S=νmv^2/3[Pa]　([Pa]=[N/m^2])

で，回答はまちがい，あなたが合ってる。

なお，

[N・s]=[(kg・m/s^2)・s]=[kg・m/s]

お礼

ありがとうございます．
丁寧な回答が分かりやすいです．
答えが間違えているのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

noname#185706

その「答え」が間違っていると思います。

お礼

ありがとうございます．
答えが間違えているのですね．
これからもよろしくお願いします．