理想気体の状態方程式

質問

理想気体の状態方程式PV=nRTを導出するという課題が出たのですが

ボイルシャルルの法則などから導く方法は前にやったことがあるのですが
それ以外に求める方法はあるのでしょうか。
どうも気体分子の圧力から求めるらしいのですが・・・。

力積が運動量変化と等しいことを利用して
ΔP＝-2mVx
と考えていき

体積V、分子数N、分子の質量m、分子の平均速度<V>として
P=(mN<V^2>/V)/3
となり
PV=2N<Ek>/3
となるところまでわかるのですが。
ここから本当に理想気体の状態方程式が導けるのでしょうか。

回答No.7

dephands · ベストアンサー

No.4です。

熱力学は学ばれたのでしょうか。
おそらく、熱力学の第一法則
dU=TdS-pdV　（か、もしくはそれをルジャンドル変換したもの）
と、マクスウェルの関係式(偏微分の間の関係式)と、
U=U(T)
つまり、理想気体の性質として、内部エネルギーが温度のみに依存することを使えば出てきますよ。

たとえば、第一法則の式を、温度T一定の下で体積で微分すると、
(∂U/∂V)=T(∂S/∂V)-p　(偏微分は、温度一定)
で、U=U(T)なので、左辺は0になり、ここにマクスウェルの関係式を使うと、pがTに比例することが出てきます。

もうひとつ出すのは、多分エンタルピーが(内部エネルギーが温度のみによることから)エントロピーに依存しないということを使えばいいと思います。

このあたりのことをまったく学ばれていなかったら申し訳ないです。
ポイントは、理想気体の条件として、
U=U(T)
を仮定すると、いろいろ導けますよ、ということです。
逆にこの仮定がなければ、理想気体のみならず、一般の気体に言及することになりますね。

一応4の回答に捕捉しておくと、理想気体の状態方程式とは独立に統計力学の手法でエネルギー等分配則を証明できます。

お礼

熱力学は普通の物理で習う範囲だけ履修してますが・・・
わかりません(笑)
また機会があれば勉強しようと思います！
ありがとうございました。

回答No.6

ht1914

＃５です。

＞ちなみにボイルの法則とシャルルの法則はどのように導けるのでしょうか。

ボイルの法則、シャルルの法則は経験則です。マクロな気体の法則です。気体分子運動論はそれをミクロに解釈しようとしているのです。
ボイルの法則を導いているように見えますがミクロとマクロをつなぐ解釈が入っています。
「圧力は分子の衝突が壁に及ぼす力積の総和の時間平均である」というところです。気体分子の運動を力学的に追いかけているだけでは圧力という量は出てきません。集団の統計平均という考えが必要です。

同様にシャルルの法則をミクロに説明するとしたら温度という熱力学的な量をミクロに読み直すという作業が必要です。
これは状態方程式を用いて行っているわけですから堂々巡りになります。
＞理想気体では分子の持つ運動エネルギー（の平均値）Ekが温度に比例すると考えるとするなら

の部分です。シャルルを導くのであれば状態方程式は使うことが出来ないことになりますからここに書いてあることもまだ分からないはずです。

課題でただ「ボイルの法則、シャルルの法則を導け」とだけだったとしたらおかしいですね。
「理想気体では分子の持つ運動エネルギー（の平均値）Ekが温度に比例する」を前提とすると導くことが出来るという問であるのであればまだ分かります。でも不自然です。

お礼

どうもありがとうございました。
不自然な課題なのかレポートで４０人が出して
受け取ってもらえたのは3人だけでしたｗ

回答No.5

ht1914

＃１、＃２のご解答に示されているとおりですが気体の状態方程式の方が先です。ボイルの法則とシャルルの法則がまず確立します。ボイル・シャルルの法則というのはありません。単に２つの式を１つにまとめただけのものです。その式とアボガドロの法則とを組み合わせると気体の状態方程式が導かれます。

気体分子運動論からはお示しのように
ＰＶ＝（２／３）Ｎ＜Ｅｋ＞
が出てきます。これと状態方程式を組み合わせると
Ｎ＜Ｅｋ＞＝（３／２）ＲＴ
が出てきます。これからエネルギーの等配分則を導くわけです。
（高等学校でもこの式は出てきます。１原子分子の定積比熱の値として出てきます。気体の温度は運動エネルギーの尺度になっているということを示すに留まっています。等配分という言葉は出てこないと思います。）

エネルギーの等配分則を用いてという前提であれば気体分子運動論から導くことは出来るでしょうが不自然ですね。

等配分則を使うとしてボルツマン定数のｋは何処から来たのかが問題になります。ｋ＝Ｒ／Ｎですのでアボガドロの法則と気体の状態方程式を使っているということがわかると思います。

お礼

＃１の方のお礼にも書きましたが、どうも
・ボイルの法則
・シャルルの法則
を証明してきなさい。

という電気磁気学の時間に出た課題でした。

どうも返答ありがとうございました。

補足

ちなみにボイルの法則とシャルルの法則はどのように導けるのでしょうか。
一応今日の朝までのレポート課題でしたのですでに提出しましたが・・・。

＜式より＞
ＰＶ＝（２／３）Ｎ＜Ｅｋ＞
今、理想気体を考えている。
理想気体では分子の持つ運動エネルギー（の平均値）Ekが温度に比例すると
考えるとするなら

f(p,v,t) = 0

と考えている状態方程式にて温度Tが一定の状態だと仮定してPとVの関係は

PV=const

となる。Pが一定であると考えVとTの関係は変形して

V=(2/3P)N<Ek>

であるから、P一定の時、体積は温度に比例する。

この二つはそれぞれボイルの法則とシャルルの法則を示している。

と述べた上でそれらの法則は経験則として

PV=const
V=(t/273*+1)V0

が知られている。と述べて、そこから状態方程式PV=ｎRTに変形して
レポートは提出しました。

こんな感じで導出はよかったのでしょうか・・・。

回答No.4

dephands

もうほとんどできていますね。
単原子分子理想気体の内部エネルギーが、一分子あたり
(3/2)kT =(3/2)(R/Na)T :Rは気体定数で、Naはアボガドロ数
とかけることを使えばおしまいです。

同じことですが、別の言葉で書くと、単原子分子理想気体の定積比熱が1molあたり(3/2)Rで与えられるといってもよいです。

（エネルギー等分配則なわけですが、高校生の方だったらこの単語は忘れてください。もし、大学生の方で、エネルギー等分配則を導きたければ、統計力学をあたるのがよいでしょう）

お礼

どうもありがとうございます。
その式変形はいくつかの参考書に載ってました！！
けれども理解できずに・・・

私は高専の４年生です。
ちなみにこの課題は電気磁気学の授業で出た課題でした(;´▽｀A``
統計力学は高専のカリキュラムにないのですが、機会があれば見てみます。

回答No.3

noname#69788

物理化学の参考書に載っていると思います。偏微分を使うようですが、私には理解できませんでした。

お礼

どうもありがとうございました。
物理化学の参考書はノーチェックでした。
応用物理と科学の教科書や参考書は見たのですが・・・。
今度見てみます。

回答No.2

noname#40706

＜＜ここから本当に理想気体の状態方程式が導けるのでしょうか。＞＞

導けないと思います。順序が逆だと私は理解しているのですが・・・・

PV=2N<Ek>/3　　　Ｎ＝ｎＮ０　　Ｎ０：アボガドロ数

この式と　PV=nRT　とを対応させてみると

１つの分子のエネルギーＥｋ＝（３／２Ｎ０）ＲＴが導かれます。

つまり、はじめに理想気体の状態方程式があり、それから、１つの分子のエネルギーが気体の絶対温度に比例するということが導かれるということではないのでしょうか。

温度とは何かという問いに対する、分子運動論からの解答が得られると言うことです。

ちなみにＲ／Ｎ０＝ｋ（ボルツマン定数）を用いて

Ｅｋ＝（３／２）ｋＴ　と表されます。

お礼

どうもありがとうございます。
いろんな参考書とか見ても状態方程式が先に出されてから
分子論に進んでますし・・・。
やはり順序が逆なのかもしれません。

回答No.1

ko-bar-ber

やはりボイル＝シャルルの法則より求めるしかないのでは？
質問者さんの式変形だと、気体分子運動論にもっていこうとしているように見えますけど、気体分子運動論自体が状態方程式を使いますからね…。
（なんか卵が先か、鶏が先かみたいな）

できないような気がします。

お礼

どうも先生の話を聞くとボイルの法則とシャルルの法則を証明してこい。
とのことだそうですが・・・。

ご返答ありがとうございました。