複素積分、積分路に関する問題が解けなくて困っています。

質問

複素積分、積分路に関する問題が解けなくて困っています。
来年大学院受験です。
問題は
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/10math-j.pdf
の第2問です。
(1)不定積分はすぐに解けるのですが、
(2)の積分経路はどうしていいかわかりません。
自分の途中までの回答としては、
(1)はtan^(-1)x + C, (1/2)*log(x^2+1) + C
(2)はS1,S2,S3,S4の経路をそれぞれ
z(t)=1+it (-1≦t≦1)
z(t)=-t+i (-1≦t≦1)
z(t)=-1-it (-1≦t≦1)
z(t)=t-i (-1≦t≦1)
とし、それぞれtで微分すると、
dz=idt
dz=-dt
dz=-idt
dz=dt
となり、それぞれ、
I_1 = ∫(-1～1) 1/(1+it-(a+ib)) * idt
I_2 = ∫(-1～1) 1/(-t+i-(a+ib)) * -dt
I_3 = ∫(-1～1) 1/(1+it-1-it-(a+ib)) * -idt
I_4 = ∫(-1～1) 1/(t-i-(a+ib)) * dt
という風に表せると思いますが、
ここでI_1は定積分すると
log|(i+1-a-ib)/(-i+1-a-ib)|となりましたが、このままでいいのでしょうか？
何かもう少し変化させたりとかできないのでしょうか？
少々行き詰ってしまったので、指標をいただければ嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

alice_44

(2)
I_1 = ∫[-1～1] 1/(1+it-(a+ib)) idt
= ∫[-1～1] i/(1-a+i(t-b)) dt
= ∫[-1～1] i(1-a-i(t-b))/{(1-a+i(t-b))(1-a-i(t-b))} dt
= ∫[-1～1] {i(1-a)+(t-b)}/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt
= i∫[-1～1] (1-a)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt + ∫[-1～1] (t-b)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt
まで分解して初めて、実積分になる。

∫(1-a)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt は、t-b = (1-a) tanθ で置換する定石。
∫(t-b)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt は、(1-a)^2+(t-b)^2 = u で置換する定石。

＞ log|(i+1-a-ib)/(-i+1-a-ib)|となりましたが
複素積分では、∫dt/t = log t。実積分でなければ、∫dt/t = log |t| としたらダメよ。
多価関数の枝が、正則に繋がらなくなるから。

(3)
すなおに留数定理を使う場面。
被積分関数を部分分数分解すれば、全ての極での留数が求まる。

(4)
f(x) が x=a に n 位の極を持つとすれば、
f(x) = (x-a)^n・P(x) と置いて、f'/f = n/(x-a) + P'/P。
被積分関数の x=a での留数は n だから、正値。
よって、閉路内の留数和は正値となる。
対偶をとれば、題意が得られる。