共通な実数解をもつ2つの2次方程式

質問

共通な実数解をもつ2つの2次方程式
x^2+kx+1=0…(1)
x^2-x-k=0…(2)
があるとします。kは定数です。

すると
(1)-(2)=0が成り立ちますよね。
すなわち(1)=(2)
（しかしこのとき(1)と(2)の式の形は違う）
(1)-(2)より
k=-1またはx=-1

このk=-1またはx=-1を元の2式に代入すると、2式は同じ値になって(1)-(2)=0が成り立ちます。

しかしこれじゃあ2式に代入しないと分かりません。

ところで質問の本題は
共通解の問題では
k=-1またはx=-1が出て
これらをそれぞれ元の(2)式に代入してみて、共通解をもつのかを確かめますね。

でもこの場合
k=-1のとき
(1)=(2)は等しいから
1つの式への代入でOK。
x=-1のときも
(1)=(2)より1つの式への代入でOK。
（このときk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)を知るためには結局2式に代入しかないのですかね?）

しかし
k=-1またはx=-1⇔(1)-(2)=0
に疑問を感じます。
(1)-(2)=0⇒k=-1またはx=-1
これは納得できます。

でもk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)
これについて
はじめに書いた
(1)と(2)を辺々引いて
(1)-(2)=0
（このとき右辺=0は明確。しかし左辺は式の形が違う。つまり(2)式の左辺を引いた式=0となる。このとき左辺=0とは限らない。多分。）

で左辺を0にするためにはk=-1またはx=-1
（このときはじめて左辺=0が分かる）
このとき(1)-(2)=0
（式の形は2式とも同じ。このとき左辺=0だから0=0）

つまりk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)
（左辺=0より）

kとxを出す前の(1)-(2)=0 は
(1)=(2)となるが式の形が違う。

これらはどう違うのでしょうか?

まあつまり
f（x）=0、g（x）=0があります。
このときf（x）-g（x）=0
しかし左辺は式の形が違う。
ここで左辺を0にする値を出した。
そのときはじめて
f（x）=g（x）と言えるのですか?

k=-1またはx=-1⇒(1)=(2)を知りたいです。

なぜ知りたいかというと
共通解を持つか確かめるときに
k=-1またはx=-1⇒(1)=(2)
が言えたならば
kもxも片方への代入でOKです。だってもう１つに代入してもどっちにしても同じになるから。
つまり共通解の問題のとき(1)=(2)ならば
値の代入が１つでいいので、このときのk=-1またはx=-1⇔(1)=(2)を頭に入れておきたいんです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

長々と書かれていますが、要するにあなたは方程式の同値関係が良く分かっていないということですね。

f(x)=0とg(x)=0が共通解x=xoを持つ
⇔
f(xo)=0,g(xo)=0
⇔
「f(xo)-g(xo)=0 かつ f(xo)=0」または「f(xo)-g(xo)=0 かつ g(xo)=0」…(※)
を満たすxo

という関係にあります。
「⇔」は同値関係を表す記号でこの記号の左側と右側が等価であることを意味します。

質問者さんの説明文では（※）の「かつf(xo)=0」または「かつg(xo)=0」の部分…（■)が
f(x)-g(x)=の解x=x1が共通解xoであるかどうかを元の式に代入した（■）の式を満たして
初めてx1が共通解xoであると確認できる分けです。

例
f(x)=(x-1)(2x+1)=0,g(x)=(x-1)(x+3)=0,共通解はxo=1

f(x)-g(x)=(x-1)(x-2)=0を満たす解はx=x0=1とx=x1=2
この2つの解xo,x1に対して
f(xo)-g(xo)=0…(A) および f(x1)-g(x1)=0…(B)が成り立つ。
x=xoはf(xo)=0を満たすのでx=xoは共通解（(A)からg(xo)=0も成り立つ）
x=x1=2はf(x1)=0を満たさないのでx=x1は共通解でない((B)からg(x1)=0も成り立たない）
ことが言えますね。

f(x)-g(x)=0を満たす全ての解が元の方程式f(x)=0やg(x)=0の解ではないということです。
同値関係は
「f(x)-g(x)=0およびf(x)=0の共通解」または「f(x)-g(x)=0およびg(x)=0の共通解」が
「f(x)=0およびg(x)の共通解」であり、
逆もまた真であることを言っているのです。

お礼

なるほど。
詳しく回答ありがとうございます。

回答No.2

mazimekko3

2変数実関数
f(x,k)
g(x,k)
があって,
f(Xf,Kf)=0
g(Xg,Kg)=0
が成立する実数Xf,Xg,Kf,Kgが存在する.
そして共通解を持つとは, Xf=Xg,Kf=Kg が成立する解が一つ以上存在することだ.

f(x,k)-g(x,k)=0
を満たす解Xfg,kfgとすると
f(Xfg,Kfg)-g(Xfg,Kfg)=0
が成立するわけだが,これが共通解とは断言出来ない.
なぜなら
f(Xfg,Kfg)=0
は必ずしも成立しないからだ(関数gも同様).

ただし,共通解でなくても
f(Xfg,Kfg)=g(Xfg,Kfg)は成立している.
すなわち, 代入しなくてもf(Xfg,Kfg)=g(Xfg,Kfg)はいえる.

もしf(Xfg,Kfg)=0が成立すれば, それは共通解ということが出来る.

お礼

なるほど。
分かってきました。
回答ありがとうございます。

回答No.1

nag0720

長すぎて何が疑問かよくわからないのですが、

(x^2+kx+1)-(x^2-x-k)=0
kx+1+x+k=0
(k+1)(x+1)=0
k=-1　または　x=-1

ではだめなのですか？

お礼

回答ありがとうございます。
まあ共通解の問題において
ここでいうk=-1またはx=-1のときに共通解を持つかを代入して調べます。
このときk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)ならば１つの式への代入でOKです。
つまりk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)を明らかにしたいのです。

補足

すみません。長すぎましたね。
なんか自分も書いてる間にこれは伝わんないだろうなあと思ってました。

つまり聞きたいことは
上の2式において
(1)-(2)=0⇔k=-1またはx=-1

(1)=(2)⇒k=-1またはx=-1は納得。
しかしk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)
これを知るためには2式への代入しかないのかって言う事です。

まあk=-1またはx=-1⇒(1)=(2)
の理由が知りたいのです。