２次方程式の共通解

質問

２次方程式の共通解の求め方を教えてください。

2つの2次方程式kx*+(k-1)x+1=0,x*+2x+k=0が共通解な実数解を持つように定数kの値を定めよ。またこのときの共通な解を求めよ。
注意：出し方が分からなかったので、*＝二乗と思ってください。

という、問題です。お願いします。

回答No.3

KENZOU · ベストアンサー

問題の式を慣例的な書き方に直すと
　kx^2+(k-1)x+1=0　　(1)
　x^2+2x+k=0　　　(2)
となりますね。共通解をx=αとすると、これは(1)、(2)を同時に満たすから
　kα^2+(k-1)α+1=0　(3)
　α^2+2α+k=0　　(4)
ここで(3)(4)からα^2を消す（←定石）。(3)-(4)×kより
　(k+1)(α+k-1)=0　(5)
これから
従って　k=-1　あるいは　k=1-α　と求まります。そこで　k=-1　の場合(※)のαを具体的に求めましょう。k=-1を(4)に入れると（(3)に入れても良い）
　α^2+2α-1=0　(6)
となります。2次方程式の解の公式より　
　α=-1±√2　　(7)
と求まります。次に　k=1-α　の場合、(4)より
　α^2+2α+1-α=α^2+α+1=0　(8)
となりますが、(6)を満たすαは実数とはなりません（←判別式<0）。そこでk=1-α　は捨てます。結局求める答えはk=-1,共通な実数解α=-1±√2となります。
(※)方程式(1)、(2)はまったく同じ方程式になることを確認しましょう。

お礼

完璧にわかりました!!!
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

書き方で誤解があるようです。

ｘの２乗はx^2
*は掛けるの代わりに使います。（ｘと間違えるため）
というのが掲示板における書き方です。
k*(下の式）というのは　ｋかける（下の式）です。
２乗ではありませんので念のため。

解答ですが、ｋとｘの連立方程式と考えれば良いでしょう。
ただｋを消去するとｘの３次式になりそうなので
いったん　x^2を消去（ｘまでは消去しにくい）
して整理したら因数分解できた、ということです。
この手の問題ではたいていそうなります。

お礼

いろいろありがとうございます。

いまからやってみます。ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

xの2乗はx^2と書きますね。

共通解をαとおくと、
kα^2+(k-1)α+1=0
α^2+2α+k=0

(上の式)-k*(下の式])から、(-k-1)α＋(1-k^2)=0・・・☆

k≠-1のとき、
☆を(1+k)で割って、α＝1-k。(つまり、共通解を持つなら,その共通解は1-k)
なので、1-kが、x^2+2x+k=0、の解になるようにkを決め、
そのkについて、共通解を持つかどうか調べましょう。

k=-1のとき、
実際に、kx^2+(k-1)x+1=0,x^2+2x+k=0に代入して,共通解を持つかどうかを調べればいいです。

お礼

答えてくださってありがとうございます!!!
でも、すいませんが、私には難しいので、、、
(上の式)-k*(下の式])から、(-k-1)α＋(1-k^2)=0の上までは分かったのですが。。。（ぇ
上の式からk*を引くのですか??
よかったら教えてください。