同軸円筒管の静電容量について質問です。

質問

同軸円筒管の静電容量について質問です。
同軸円筒管の静電容量を考えた場合、通常の理論式においては、C＝2πεL/ln(r2/r1)という式で求められます。今、この同軸円筒管に水を入れたとします。すると水は導電性であるため、同軸円筒管の内部電極と外部電極間は水によりショートしていると考える事ができて、上記の理論式をあてはめる事ができると思っています。
ここで質問なのですが、上記と同じ状況において、水が極わずかであった場合、つまり同軸円筒管の先端付近にしか水がなかった場合はどうなるのでしょうか？　水の電気抵抗はその体積に比例するので、水が少ない状態では水の電気抵抗は非常に高い値（数ｋ～数十ｋΩ）を示します。このような場合は水により内部電極と外部電極間がショートしているとは言えないわけで、上記理論式の考え方は当てはまらないのではないかと思うのですが、それを理論的に証明する方法が分かりません。
どなたかご教示下さい。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

静電容量で水位を見る場合には、水を導電体としてではなく誘電体として扱っているように思います。
実際の測定では、水の電気伝導の分が静電容量に並列につながるような形になるので、これを除外できるような測定（電圧と電流の位相差まで考慮して、抵抗性の電流の影響が出ないような測定）をしているかと思います。

補足

>これを除外できるような測定（電圧と電流の位相差まで考慮して、抵抗性の電流の影響が出ないような測定）をしているかと思います。

上記についてもう少しご教示いただけると助かります。
水を誘電体として扱う事は、内部電極の被膜（誘電体１）と水（誘電体２）の２つの誘電体によるコンデンサ構造という考え方をする事になります。
その場合、foobarさんが言われる、「電圧と電流の位相差を考慮して、抵抗性の電流の影響が出ないような測定」というのは具体的にはどのような測定になるのでしょうか？
もしご存じであれば、教えて下さい。

以上、よろしくお願いします。

回答No.3

foobar

抵抗性の電流の影響が出ない計測としては、例えば、交流電圧をかけて流れる電流を計測する時に、
1. 位相の90度異なる電圧(Vsin(ωt)とVcos(ωt))を用意する。
2. 電極間にVsin(ωt)の電圧をかけて、電流センサ出力にはcos(ωt)の信号を掛け算して平均をとる。
3. すると抵抗性の電流成分(Ir*sin(ωt)）は平均値が0になって、容量性の電流C*d(Vsin(ωt))/dt=CVωcos(ωt)だけを検出できる。
という方法があります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

foobar

同軸管の静電容量の式は、電束が連続なことと対象性から電束密度（=電界の強さ＊誘電率）が2πrに反比例する、というところから導くことができます。
同軸管内を導電性物質で満たす必要はありません。
（電束密度と電流を対比させて、同軸管内を導体で満たしたときの電流の様相から、電束密度の様相をイメージさせる、ということはやられているようですが。）

補足

ありがとうございます。
ちょっと説明が不足していました。
導電性物質を満たすというのは、水位センサーのような物を想定した場合で質問しています。
その場合、質問に書いたように水を入れると容量が変化して水位が分かるわけですが、
その時に、静電容量を求める場合に、水の抵抗を加味する必要があるのかどうか、について
質問させていただきました。

以上、ご教示頂けると助かります。