ベクトル解析について質問があります。

質問

ベクトル解析について質問があります。

A ＝ A1(x,y,z)*i+A2(x,y,z)*j+A3(x,y,z)*k :i,j,kはｘｙｚ方向の単位ベクトル

としていされていて、

１）rotA=0のとき

f = ∫[x0→x]A1(α,y0,z0)dα + ∫[y0→y]A2(x,β,z0)dβ + ∫[z0→z]A3(x,y,γ)dγ

のｆが　grad f = A　を示せ

２）A = (6xy + z^3)i + (3x^2 - 2y)j + (3xz^2 - 2y)k

としたときgrad　φ = A となるφ（x,y,z）　を求めよ。φ(0,0,0)=0　とする。

の二つの問題です。（２）のAはrot A がゼロなので（１）を使うのだと思うのですが、x0.y0.z0　の定数をどう扱えばいいのかよくわからなくて・・・全部ゼロとしなくても条件が足りなくて定数を決められませんでした。よろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

A=A1(x,y,z)*i+A2(x,y,z)*j+A3(x,y,z)*k :i,j,kは x y z 方向の単位ベクトル
1)
A=(6xy+z^3)i+(3x^2-2z)j+(3xz^2-2y)k
rotA=i(∂A3/∂y-∂A2/∂z)+j(∂A1/∂z-∂A3/∂x)+k(∂A2/∂x-∂A1/∂y)=0
f = ∫[x0→x]A1(α,y0,z0)dα + ∫[y0→y]A2(x,β,z0)dβ + ∫[z0→z]A3(x,y,γ)dγ
とすると
f=6x^2y+2xz^3-2yz-4yz0-z^3x0-3x^2y0-xz0^3-3x0^2-2y0z0
∂f/∂x=12xy+2z^3-6xy0-z0^3≠6xy+z^3=A1
∂f/∂y=6x^2-2z-4z0≠3x^2-2z=A2
∂f/∂z=6xz^2-2y-3z^2x0≠3xz^2-2y
gradf≠A
なので
「
１）rotA=0のとき
f = ∫[x0→x]A1(α,y0,z0)dα + ∫[y0→y]A2(x,β,z0)dβ + ∫[z0→z]A3(x,y,γ)dγ
のｆが　grad f = A　
」は誤りです。

rotA=0
(∂/∂z)(∂/∂y)A1=(∂/∂y)(∂/∂z)A1=0
(∂/∂z)(∂/∂x)A2=(∂/∂x)(∂/∂z)A2
のとき
f(x,y,z)=(1/2)(∫[x0→x](A1(α,y,z)+A1(α,y0,z0))dα
+∫[y0→y](A2(x,β,z)+A2(x0,β,z0))dβ
+∫[z0→z](A3(x,y,γ)+A3(x0,y0,γ))dγ)
のとき
gradf=A

お礼

な、なるほど！何度もすみませんでした。ありがとうございました！

回答No.2

muturajcp

A=A1(x,y,z)*i+A2(x,y,z)*j+A3(x,y,z)*k :i,j,kは x y z 方向の単位ベクトル
1)
rotA=i(∂A3/∂y-∂A2/∂z)+j(∂A1/∂z-∂A3/∂x)+k(∂A2/∂x-∂A1/∂y)=0
(∂/∂z)(∂/∂y)A1=(∂/∂y)(∂/∂z)A1=0
(∂/∂z)(∂/∂x)A2=(∂/∂x)(∂/∂z)A2

f(x,y,z)=(1/2)(∫[x0→x](A1(α,y,z)+A1(α,y0,z0))dα
+∫[y0→y](A2(x,β,z)+A2(x0,β,z0))dβ
+∫[z0→z](A3(x,y,γ)+A3(x0,y0,γ))dγ)
F1(x,y,z)=∫A1(x,y,z)dx
F2(x,y,z)=∫A2(x,y,z)dy
F3(x,y,z)=∫A3(x,y,z)dz
とすると
f(x,y,z)=(1/2)(F1(x,y,z)-F1(x0,y,z)+F1(x,y0,z0)-F1(x0,y0,z0)
+F2(x,y,z)-F2(x,y0,z)+F2(x0,y,z0)-F2(x0,y0,z0)
+F3(x,y,z)-F3(x,y,z0)+F3(x0,y0,z)-F3(x0,y0,z0))

(∂/∂x)F1(x,y,z)=A1(x,y,z)
(∂/∂y)F2(x,y,z)=A2(x,y,z)
(∂/∂z)F3(x,y,z)=A3(x,y,z)
(∂/∂x)(-F1(x0,y,z)-F1(x0,y0,z0)+F2(x0,y,z0)-F2(x0,y0,z0)+F3(x0,y0,z)-F3(x0,y0,z0))=0
(∂/∂y)(F1(x,y0,z0)-F1(x0,y0,z0)-F2(x,y0,z)-F2(x0,y0,z0)+F3(x0,y0,z)-F3(x0,y0,z0))=0
(∂/∂z)(F1(x,y0,z0)-F1(x0,y0,z0)+F2(x0,y,z0)-F2(x0,y0,z0)-F3(x,y,z0)-F3(x0,y0,z0))=0

A1(x,y,z)=∫(∂/∂y)(A1(x,y,z))dy+∫(∂/∂z)(A1(x,y,z))dz)
だから
(∂/∂x)(F2(x,y,z)+F3(x,y,z))
=∫(∂/∂x)(A2(x,y,z))dy+∫(∂/∂x)(A3(x,y,z))dz
=∫(∂/∂y)(A1(x,y,z))dy+∫(∂/∂z)(A1(x,y,z))dz
=A1(x,y,z)
同様に
(∂/∂y)(F1(x,y,z)+F3(x,y,z))=A2(x,y,z)
(∂/∂z)(F1(x,y,z)+F2(x,y,z))=A3(x,y,z)

(∂/∂x)A2(x,y0,z)=(∂/∂y0)A1(x,y0,z0)
(∂/∂x)A3(x,y,z0)=(∂/∂z0)A1(x,y0,z0)
A1(x,y0,z0)=∫(∂/∂y0)(A1(x,y0,z0))dy0+∫(∂/∂z0)(A1(x,y0,z0))dz0)
だから
(∂/∂x)(F_1(x,y0,z0)-F_2(x,y0,z)-F_3(x,y,z0))
=A1(x,y0,z0)-∫(∂/∂x)(A2(x,y0,z))dy0-∫(∂/∂x)(A3(x,y,z0))dz0
=A1(x,y0,z0)-(∫(∂/∂y0)(A1(x,y0,z0))dy0+∫(∂/∂z0)(A1(x,y0,z0))dz0)
=0
同様に
(∂/∂y)(F_2(x0,y,z0)-F_1(x0,y,z)-F_3(x,y,z0))=0
(∂/∂z)(F_3(x0,y0,z)-F_1(x0,y,z)-F_2(x,y0,z))=0

∂f/∂x=(1/2)(A1(x,y,z)+A1(x,y,z))=A1(x,y,z)
∂f/∂y=(1/2)(A2(x,y,z)+A2(x,y,z))=A2(x,y,z)
∂f/∂z=(1/2)(A3(x,y,z)+A3(x,y,z))=A3(x,y,z)

gradf=i(∂f/∂x)+j(∂f/∂y)+k(∂f/∂z)=i*A1(x,y,z)+j*A2(x,y,z)+k*A3(x,y,z)=A

2)
A=(6xy+z^3)i+(3x^2-2y)j+(3xz^2-2y)k
としたとき
rotA=-2i≠0
となってしまうので
gradf=Aとなるfを求められないので、
rotA=0となるようにAを以下のように変更しています。

A=(6xy+z^3)i+(3x^2-2z)j+(3xz^2-2y)k

f(x,y,z)=3yx^2+xz^3-2yz

お礼

何度も申し訳ありません。いつもありがとうございます。本当に感謝しております。

しかしやはり、

f(x,y,z)=(1/2)(∫[x0→x](A1(α,y,z)+A1(α,y0,z0))dα
+∫[y0→y](A2(x,β,z)+A2(x0,β,z0))dβ
+∫[z0→z](A3(x,y,γ)+A3(x0,y0,γ))dγ)

と書けるところだけ納得できません。
問題で与えられている式と、この式だと同じように思えないのですが、
なにか公式などあるのですか？それとも一種の定石的手法なのでしょうか。

何度も申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

A=A1(x,y,z)*i+A2(x,y,z)*j+A3(x,y,z)*k :i,j,kは x y z 方向の単位ベクトル
1)
rotA=i(∂A3/∂y-∂A2/∂z)+j(∂A1/∂z-∂A3/∂x)+k(∂A2/∂x-∂A1/∂y)=0
f(x,y,z)=(1/2)(∫[x0→x](A1(α,y,z)+A1(α,y0,z0))dα
+∫[y0→y](A2(x,β,z)+A2(x0,β,z0))dβ
+∫[z0→z](A3(x,y,γ)+A3(x0,y0,γ))dγ)

gradf=i(∂f/∂x)+j(∂f/∂y)+k(∂f/∂z)=i*A1(x,y,z)+j*A2(x,y,z)+k*A3(x,y,z)=A

2)
A= (6xy + z^3)i + (3x^2 - 2z)j + (3xz^2 - 2y)k
rotA=i(∂A3/∂y-∂A2/∂z)+j(∂A1/∂z-∂A3/∂x)+k(∂A2/∂x-∂A1/∂y)=0
gradf=A
f(x,y,z)=
1/2(
3yx^2+xz^3-3yx0^2-x0z^3+3y0x^2+xz0^3-3y0x0^2-x0z0^3
+3yx^2 - 2yz-3y0x^2 + 2y0z+3yx0^2 - 2yz0-3y0x0^2 + 2y0z0
+xz^3 - 2yz-xz0^3 + 2yz0+x0z^3 - 2y0z-x0z0^3 + 2y0z0
)
=3yx^2+xz^3-2yz-3y0x0^2-x0z0^3+2y0z0

f(0,0,0)=-3y0x0^2-x0z0^3+2y0z0=0

f(x,y,z)=3yx^2+xz^3-2yz

お礼

ご回答ありがとうございます。

申し訳ないのですが、僕の理解力が足りずもう少し教えて下さい。

f　が
f(x,y,z)=(1/2)(∫[x0→x](A1(α,y,z)+A1(α,y0,z0))dα
+∫[y0→y](A2(x,β,z)+A2(x0,β,z0))dβ
+∫[z0→z](A3(x,y,γ)+A3(x0,y0,γ))dγ)

のように変形できるのはなぜですか？またこれの第一項をｘで偏微分したときなぜA1(x,y,z)に戻るのですか・・・？

（２）については納得できました。ありがとうございます！