螺旋曲面の面積について

質問

螺旋曲面の面積について

高3です。

質問は以下の螺旋曲面の問題についてです。

定円の半径がr、高さが1の直円柱Ｔのひとつの母線の両端点をＡ，Ｂとする。ＡとＢを結び、Ｔ上を一周する曲線の中で、長さがもっとも短いものをＣとする。
点ＰがＣ上を動くとき、ＰからＴの中心軸におろした垂線ＰＱが通過して出来る曲面をＲとする。
このときＲの面積Ｓを求めよ。

Ｐ、ＱをＰ（rcosθ、rsinθ、θ/2Π）、Ｑ（0、0、θ/2Π）としてＲ上の点ＲをP,Qをt:1-tに分ける点としてベクトルｒ=（rtcosθ、rtsinθ、θ/2Π）とおいて、外積dr/dt×dr/dθを微小面積として0≦θ≦2Π、0≦t≦1で積分すると答えは｛rSQRT（４Π?r?+1)}/2+{log(2Πr+SQRT(4Π?r?+1)}/4Πになりました。（すみません根号の打ち方がわからなかったのでSQRT()で代用しています.）

質問したいのは次の点です。
・この答えであっているか
・他に解法はないか

読みにくいですがお願いします。

回答No.1

noname#152421 · ベストアンサー

いまどきの高校はこんなのやるんですか。

> dr/dt×dr/dθ

これですと（もし書くなら偏微分で）、z座標の変化が加味されていないしスカラーでもないので、別物になってしまうようです。

P(θ)とQ(θ)との距離をρ、
P(θ+?θ)とQ(θ+?θ)とを結ぶ線分上の点でQ(θ+?θ)からの距離がρになるものをP'、
P(θ)とP'との距離をlとすると、

l^2=(2ρ(sin(?θ/2)))^2+(z(θ+?θ)-z(θ))^2

となり、lに?ρをかけたものが小さい長方形の面積と考えられます。
それをρとθについて足し合わせて極限をとると、

S=∫∫ρ((1+4z'(θ)^2)^(1/2))dρdθ（積分範囲:0≦ρ≦r,0≦θ≦2π)

と表せました。

z(θ)=θ/(2π)と置いてこれを計算すると、(r^2)(π^2+1)^(1/2)になりました。

正しいかどうか保証しないので、自分で確かめてみてください。

なお、z(θ)=θ/(2π)は自明ではありません。証明しようとすると変分問題になってしまいますが、高校だったら、展開図を考えて直線が最短コースだという程度の説明でいいと思います。

お礼

展開図の直線を積分したところ同じ答えに戻りました
有難うございます

回答No.2

noname#152421

#1です。

回答に文字化けがありました。
化けている部分は「デルタ」のつもりでした。

失礼しました。