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螺線(らせん)の横から見た投影面積について

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 半径rの鉄線を使った半径R(鉄線の中心が描く螺線の半径)のコイルが床の上に水平に置いてある。このコイルの一端を固定し、他端を回転なしで横方向(螺線の軸方向)に引っ張り、そのピッチ(コイルの山から山の長さ)がPとなった時、横方向から見たコイルの1ピッチ分の投影面積は数式で表すとどうなるでしょうか。

 また、床面からの高さがhの水平線から上の部分に出るコイルの、やはり横方向から見た1ピッチ内の投影面積は、どうなるでしょうか。
 ただしR+r≦h≦2(R+r)とします。
 また、鉄線は、コイルの軸方向に伸ばしても、rは一定とします。
以上についてご教示ください。
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レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

未だに、解答がありませんので、老骨に鞭打って、考えてみました。
まず、式を立てて見ましょう。
そのために、座標を決めます。

X軸を上方向に
Y軸を手前方向に
Z軸を右方向に
互いに直角に取ります。(右手座標系)

螺線の出発点をY軸上に取り、この螺線の式を書きます。
ここから反時計方向に回転していくものとします。
(普通に2次元XYで考えますと、良くある図形です、参考URLの運動に似ています。)

その式は、
x=Rsinθ
y=Rcosθ
z=(θ/2π)P
となります。θはパラメータです。

これをXZ面に射影しますと、
y=0とおいた時のしきですから
x=Rsinθ
z=(θ/2π)P
となり、周期がPのサイン曲線になります。


「横方向から見たコイルの1ピッチ分の投影面積は数式で表す」の「1ピッチ分の投影面積」とはどう取ればよいか分かりません。

後はご自分で考えて見て下さい。
参考になればよいですが(^^;
補足コメント
noname#11257

brogieさん
早速ありがとうございました。
小生、学生時代、さぼり気味で面積の出し方(積分)がいまいちよくわからないのでご教示ください。
brogieさんの式から、0からP/2の間のz軸上のサイン曲線の面積Sは

S=∫Rsin((2π/P)z)dz

の0からP/2までの定積分になると思われますが、もしこれでよろしければ
この定積分の仕方と結果をご教示ください。

また、そうでなければ、間違いを含めてご教示ください。
投稿日時 - 2001-09-02 00:05:34
お礼コメント
noname#11257

brogieさん
懇切丁寧にありがとうございました。
小生、実は、昨日から本日にかけて、四国、高松に出張しておりまして
ただいま、帰還いたしました。よって、お礼が遅くなり大変すみませんでした。
久しぶりに、高等数学(?)を味わわせていただき、本当にありがとうございました。
また、サインカーブの線長も必要になってきたのですが、本サイトで検索しましたら、幸いにもありましたので、これまた、高等数学のようですが、チャレンジしてみようかと思っております。
 なにせ、基礎が、ガタガタなので、どうしようもありませんが、今回、思い出し訓練にもなり、ありがとうございました。
今後とも、くだらない質問を出させていただきますが、また、よろしくご教示方
お願い申し上げます。
本当にありがとうございました。
tn238
投稿日時 - 2001-09-04 20:12:58
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  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

S=∫Rsin((2π/P)z)dz (0かP/2まで) =-R(P/2π)cos((2π/P)z) (0かP/2まで) =-R(P/2π)cos((2π/P)(P/2))-(-R(P/2π)cos((2π/P)0)) =-R(P/2π)cos(π)+R(P/2π)cos(0)  =-R(P/2π)(-1)+R(P/2π)(+1) =R*P/π となります。 公式(積分定数省略) ∫s ...続きを読む
S=∫Rsin((2π/P)z)dz (0かP/2まで)
=-R(P/2π)cos((2π/P)z) (0かP/2まで)
=-R(P/2π)cos((2π/P)(P/2))-(-R(P/2π)cos((2π/P)0))
=-R(P/2π)cos(π)+R(P/2π)cos(0) 
=-R(P/2π)(-1)+R(P/2π)(+1)
=R*P/π
となります。

公式(積分定数省略)
∫sin(ax)dx=-(1/a)cos(ax) 
∫con(ax)dx=(1/a)sin(ax)

定積分
∫f(x)dx(aからbまで)=F(b)-F(a)
ただし、∫f(x)dx=F(x)+c


では、 
お礼コメント
noname#11257

brogieさん
懇切丁寧にありがとうございました。
小生、昨日と本日、四国、高松へ主張しておりまして、
ただいま、帰還いたしました。よって、お礼のメールがおそくなってしまい
すみませんでした。
久しぶりに、高等数学(?)を、味わわせていただきありがとうございました。
 なお、サインカーブの線長も出したいと思い、本「教えてgoo」で検索しましたら、幸いにもすでにありましたので、これまた、高等数学にチャレンジしようと
思っておりますが、本当にありがとうございました。
今後とも、また、よろしくお願い申し上げます。
tn238
投稿日時 - 2001-09-04 19:58:01


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