数学の問題ですが・・・・、

質問

数学の問題ですが・・・・、
半径rの円に内接する正十二角形また、外接する正十二角形の面積を求める。
という問題なのですが、解答同じ答えになりません（；：）

3r二乗、12（2-√3）r二乗となるはずなんですが・・・・

回答No.2

Hyokko_Lin · ベストアンサー

★内接
内接正十二角形の円との交点と、円の中心とを全て結ぶと、頂角30°、等辺rの二等辺三角形12個に分割できます。
三角形一つ当たりの面積sは、
s=(1/2)*r*r*sin(30°)
=(1/4)*r^2
よって、内接正十二角形の面積Sは、
S=12*s
=3*r^2

★外接
内接正十二角形の円との交点と、円の中心とを全て結ぶと、頂角30°、の二等辺三角形12個に分割できます。（但し、等辺の長さはすぐには分かりません）
この三角形の面積sを考えると、添付した図より、
s=(1/2)*r*(r*tan(15°))*2
ここで、
tan^2(15°)=(1-cos(30°))/(1+cos(30°))
=(2-√3)^2
tan(15°)>0より、
tam(15°)=2-√3
よって、
s=(2-√3)*r^2
外接正十二角形の面積Sは、
S=12*s
=12*(2-√3)*r^2

回答No.5

Hyokko_Lin

#2,3の者です。
補足に対して回答いたします。

tanが出てきたのは、三角関数の定義からです。
図を書くのが面倒なので、適当なリンクを貼っておきます。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/sankakuhi/henkan.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/sankakuhi/sankakuhi-no-teigi.html
tangentの定義の所に、
tan(θ)=BC/AC
と書いてあります。
今回はこれを式変形して、
BC=AC*tan(θ)
として使ったのです。

その先は、tan(15°)の値を求めるために、tanの半角の公式を使っています。
あまり使いどころがないので忘れがちですが、sinとcosの半角公式から導けますね。(tan=sin/cos)
2重根号が出てきてしまいそうなところですが、今回は上手くtan(15°)の値を導けています。

お礼

お手数おかけしてすみませんでした。　
おかげさまで理解できました♪
ありがとうございました（＃＾＾＃）

回答No.4

naniwacchi

#1です。

補足への回答が遅くなってすみません。
図を加えてみました。（#3さんとほとんど同じような感じですが）

＞内接と外接の違いといえば、
＞・内接する場合は、二等辺三角形の斜辺（等しい長さの辺）が r
＞・外接する場合は、高さが r
外接の場合は、左図のように接しているので「高さ」となる部分が rになります。
ですので、「底辺」になる部分の長さが分かればいいですね。

右図は、内接する場合の面積を求めるときに有効な方法です。
「斜辺を下にした図を考えてみてください。」という図です。

まずは、一つの三角形の面積を求めることをよく考えてみてください。
どんな三角形になっているかを注意深く考えるということですね。＾＾

お礼

お手数おかけしてすみませんでした。　
おかげさまで理解できました♪
ありがとうございました（＃＾＾＃）

回答No.3

Hyokko_Lin

図を忘れました。

補足

申し訳ないです（；：）

内接の方はおかげさまでわかりました（＊＾＾＊）　
回答のご意見を読んだところ勘違いしていいました（*<*）
ユダヤの星マーク（？）のような図でかんがえていました（。。；）

外接の場合がどうしてもわからないです（；：）
（せっかく説明していただいたのに・・・すみません）
tanが急にでてきたのはなぜですか（？？）

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

いずれの正十二角形にしても、12個の二等辺三角形の集まりですね。
そして、その頂角は 360/12＝ 30度になっています。
二等辺三角形の底辺と高さが求まれば、あとは 12倍するだけですね。

内接と外接の違いといえば、
・内接する場合は、二等辺三角形の斜辺（等しい長さの辺）が r
・外接する場合は、高さが r

ですね。

面積の計算をしやすくするには、底辺をそのまま二等辺三角形の底辺とはしないで
斜辺を下にした図を考えてみてください。
そうすれば、30度をそのまま使うことができます。

可能であれば、計算過程なども示してもらえばと思います。

補足

こんにちわ（＊＾＾＊）
外接についてもう少し丁寧に教えていただいても
いいですか？失礼ですけれど・・・・
すみません。理解力がないもので（笑）
どうして高さがrになるのですか？