lim {(1+1/x)^x / e}^x (x →∞）は何になるの

質問

lim {(1+1/x)^x / e}^x (x →∞）は何になるのでしょう

lim (1+1/x)^x = e (x →∞）ですよね。
極限値であるeで割った値のｘ乗の極限はいったい何になるのでしょう。
(1+1/x)^xは単調増加なので、比は常に１未満、そのｘ乗も常に１未満なので、極限は１か０になると思うのですが、わかりません。

回答No.9

alice_44 · ベストアンサー

←No.7 補足

その値になぜなるのかは、No.4 に書いておきましたよ？

変数を h = 1/x で置き換えると、
与式 = lim[h→0] { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h)　となって、
log(与式) = lim[h→0] log { (1+h)^(1/h) / e }^(1/h)
　　　　　= lim[h→0] (1/h){ (1/h)log(1+h) - log e }。

この式に、log z の z = 1 でのテーラー展開
log(1+h) = 0 + h - (1/2)h^2 + o(h^2)　を代入すれば、
log(与式) = lim[h→0] (1/h){ (1/h){ h - (1/2)h^2 + o(h^2) } - 1 }
　　　　　= lim[h→0] { -1/2 + o(h^2)/h^2 }
　　　　　= -1/2。

すなわち、与式 = e^(-1/2)。

お礼

再度、回答ありがとうございます。
なぞのlog''(1)がないので、今度はわかります！！
ありがとうございました。

回答No.8

Tacosan

最終的にマクローリン展開するなら, ロピタルは不要＞#5.

お礼

おっしゃるとおりですね。
回答ありがとうございます。

回答No.7

alice_44

No.5+6 の人は、ヒントを理解したようですね。
いずれにせよ、No.1 で終わっている話ですが。

お礼

＞いずれにせよ、No.1 で終わっている話ですが。
そういわずに、教えてください。値が知りたいだけではなく、その値になぜなるのかも知りたいので、No.1 の回答では、まだすっきりしないんです。

回答No.6

info22_

#5です。

最後の行に誤植がありますので訂正します。
誤：∴lim[x→+0] ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=-1/2=1/√e
正：∴lim[x→+0] ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=1/√e

またグラフ添付を忘れましたので添付しておきます。

回答No.5

info22_

#1さんの言われる
「1/√e」に収束します。

無限大ではわかり難いのでx→1/xとおけば x→∞は x→+0と置き換えられて
lim[x→∞] ((1+1/x)^x/e)^x = lim[x→+0]((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)
を考えればよい
f(x)=((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)のグラフを描くと x→+0のとき　f(x)→(1/√e)となることが確認できる。黒線がy=f(x)のグラフ、赤線がy=(1/√e)のグラフでf(x)はx=0で未定義ですがf(0)=1/√eと定義してやればf(x)は連続になると考えていいですね。

f(x)のx対数をとって考えると
log[((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=[(1/x)log(1+x)-1]/x
今、この極限を考えると
lim[x→+0] {(1/x)log(1+x)-1}/x
ロピタルの定理を適用して
=lim[x→+0] {(1/x)log(1+x)}'
log(1+x)をテーラー展開
=lim[x→+0] (1/x){x-(1/2)x^2+o(x^3)}'
=lim[x→+0] {1-(1/2)x+o(x^2)}'
=lim[x→+0] {-(1/2)+o(x)}
=-1/2

lim[x→+0]log[((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=-1/2=log(1/√e)

∴lim[x→+0] ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)]=-1/2=1/√e

お礼

ありがとうございます。
わかりました。

回答No.4

alice_44

h = 1/x で置き換えると見易くなる。
log(与式) を展開、整理して考えると、
与式 = exp( log''(1) ) であることが解る。
log(与式) を展開した式に
log(1+h) = h -(1/2)h↑2 + …
を代入すれば、話が早い。

お礼

回答ありがとうございます。

＞与式 = exp( log''(1) ) であることが解る。
せっかくお教えいただいた説明、私には全く理解できません・・
でも、ありがとうございます。

補足

常識なのかも知れませんが、
「log''(1)」 がわからないのです。
ダッシュ’　は何を意味するのですか？　微分ですか？　
log(1) は０ですよね。
でも、log''(1)＝ -1/2ということですよね。訳わかりません（涙）

回答No.3

noname#113983

さっそくしょっぱなのミス。
lim(x→∞)f'(x)＝0だ。

回答No.2

noname#113983

こんなふうに考えてみな。俺もあんま自身ねえけど。
f(x)=log{(1+1/x)^x / e}^x=x{xlog(1+1/x)-1}とする。
今f(x)の1回微分
f'(x)=2xlog(1+1/x)-(x/x＋1)-1 について考察する。
xを無限大に吹っ飛ばすとf'(x)は2(e-1)に収束する。これは明らかに0より大きな
値だからf(x)は正か負の無限大 に発散する。ところが((1+1/x)^x)/eは0以上1未満の値だ。
よって{(1+1/x)^x / e}^xをxについて十分大きく取っても1よりでかくなることはない。
だからf(x)は正の無限大に発散することはなく負の無限大に発散すると考えられる。
つまりもとの{(1+1/x)^x / e}^xは0に収束することが分かる。
(一言)
俺の今の説明どうも理論が不足しているなあ。微分可能性とか連続性も実は考えないといけないわけだし、勝手に微分して傾きがうんたらこうのだからですましているからもしかしたら間違っているかもしれない。なので今後訂正する可能性あるかもしれんことは頭に入れておけ。

お礼

ありがとうございます。
考え方、参考になります。

回答No.1

Tacosan

まず, 「比は常に１未満、そのｘ乗も常に１未満なので、極限は１か０になると思う」というのは勘違いです. (1-1/x)^x を考えてみてください.
本題に関しては 1/√e に収束するはず.

お礼

回答ありがとうございます。
>極限は１か０になると思う」というのは勘違いです.
書き間違いしました。「極限は１か０の間になると思う」でした。

＞本題に関しては 1/√e に収束するはず.
すいません、導き出せません。