f：V→Wを体K上のベクトル空間VからWへの線形写像とし，v_1,…,

質問

f：V→Wを体K上のベクトル空間VからWへの線形写像とし，v_1,…,v_(r+m)∈Vの一部v_(r+1),…,v_(r+m)がKerfの基底であると仮定します．

このとき，

（1）f(v_1),…,f(v_r)が線形独立 ⇒ v_1,…,v_(r+m)は線形独立
（2）f(v_1),…,f(v_r)がImfの基底 ⇒ v_1,…,v_(r+m)のVの基底
（3）v_1,…,v_(r+m)がVの基底 ⇒ f(v_1),…,f(v_r)はImfの基底

を証明せよという問題なのですが，どれも途中で詰まってしまい，最後まで示せませんでした．どれか一つでも構わないので，教えていただけると助かります．

よろしくお願いします．

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

それで問題ないと思います．
要は基底の定義に素直に従えばいいだけだったのです．

お礼

ありがとうございました．

回答No.2

kabaokaba

たしかにどこで詰まったか明記しないと
答えても無駄になるな．

ちなみに，一番難しいのは(2)だけども
実際はどれも定義に従って素直にやればとける
基本的なある意味で教育的な問題．

補足

一応最後まで出来たのですが，自信がないので見てください．
以下，C_1,・・・,C_(r+m)∈Kとします．

（1）
　　C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0　ー（※）　（C_i∈K）
　とする．両辺にfを作用させると，fは線形写像なので
　　C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))=0
　また，v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
　　C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
　ここで仮定よりf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立なので，C_1=・・・C_r=0．
　よって（※）から，
　　C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0
　で，v_(r+1),・・・,v_(r+m)は一次独立なので，C_(r+1)=C_(r+m)=0．
　したがってv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立．

（2）
（i）v_1,・・・,v_(r+m)の一次独立性
　　（1）より成立する．

（ii）v_1,・・・,v_(r+m)がVを生成することについて
　　 Vの任意の元をxとすると，f(x)∈Imfで，f(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底より
　　　 f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=f(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)
　　　 ⇔ f(x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r))=0
　　 と書ける．すなわち
　　　 x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)∈Kerf
　　 また，v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので，
　　　 x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
　　　 ⇔ x=C_1*v_1+・・・+C_r*v_(r+m)
　　 となる．よってVの任意の元が，v_1,・・・,v_(r+m)の一次結合で書けるので，
　　 v_1,・・・,v_(r+m)はVを生成する．

（i）,（ii）よりv_1,・・・,v_(r+m)はVの基底である．

（3）
（i）f(v_1),・・・,f(v_r)の一次独立性
　　 　C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
　　 とする．このとき
　　 　f(C_1*v_1+・・・+C_r*v_r)=0
　　　 ⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r∈Kerf
　　 ここで，v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので，
　　　 C_1*v_1+・・・+C_r*v_r=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
　　　 ⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r-C_(r+1)*v_(r+1)-・・・-C_(r+m)*v_(r+m)=0
　　 となる．仮定よりv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立なので，C_1=・・・=C_(r+m)=0
　　 よってf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立．

（ii）f(v_1),・・・,f(v_r)がImfを生成することについて
　　　Imfの任意の元をf(x)とすると，x∈Vで，v_1,・・・,v_(r+m)がVの基底より
　　　　x=C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
　　　と書ける．このとき，fが線形写像であることから
　　　　f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))
　　　で，v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
　　　　f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)
　　　よって，Imfの任意の元がf(v_1),・・・,f(v_r)の一次結合で書けるので
　　　f(v_1),・・・,f(v_r)はImfを生成する．

（i）,（ii）よりf(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底である．

見にくくて申し訳ありませんが，間違っているところがあれば教えてください．

回答No.1

koko_u_u

どこで詰まったのかを補足してください。