x(t+1)=A・x(t)^α/(B・x(t)-C)が定常解を持つ条件

質問

x(t+1)=A・x(t)^α/(B・x(t)-C)が定常解を持つ条件について

A,B,Cは、定数になります（x(t)>C/Bとします）。
α<1の定数とします。

このような場合、x(t+1)=x(t)=X
となるような定常解を持つ条件は、どのようになりますでしょうか。
大変困っています。

よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

noname#113983 · ベストアンサー

これに気付け！
f(k)=Bk^2-Ck-Ak^α=k^α(Bk^(2-α)-Ck^(1-α)-A)について考える。ただし、k>C/Bとする。
f(k)=0ということはk^α=0になるかBk^(2-α)-Ck^(1-α)-A=0になるかいずれかである。
(1)k^α=0のとき、これはC/B<0かつ0<α<1のときでしかk^α=0なるkの存在性は成り立たない。(各自なぜそうなるか確かめよ)
(2)Bk^(2-α)-Ck^(1-α)-A=0の場合を考える。
ここでg(k)=Bk^(2-α)-Ck^(1-α)-AとおくとC/B≧0ならばAB>0でなければいけない。逆にC/B<0ならば
g'(k)=k^(-α){B(2-α)k-C}でk=c/B(2-α)のときはg'(k)=0でg(k)は極値を持っている。(本当は
厳密に示さんといけないが、ここでは省略。)
そしてB>0のときg(c/B(2-α))<0でB<0のときg(c/B(2-α))>0
すなわちB×g(c/B(2-α))<0でなくてはいけない。

よって(1)(2)合わせるとC/B≧0かつAB>0・・・・答え　の場合と
C/B<0かつB×g(c/B(2-α))<0またはC/B<0かつ0<α<1・・・答え　である

お礼

度々ありがとうございます。
丁寧な回答をいただきまして、重ねてありがとうございます。
括って分解し、それぞれで条件を導けば良かったのですね。
全く気づきませんでした。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#113983

f(k)=Bk^2-Ck-Ak^αとして、f(k)=0なるkの値が存在するようなA,B,C,αの条件を求めればOK.

補足

ご回答下さり、ありがとうございます。

ただ、この場合、k^αがあるので、
私の知識の範囲では、条件を導くことができません。
二次方程式であれば、判別式で導けるのですが…。

一体どうすればよいでしょうか。
よろしくお願い申し上げます。