高一の数学について

質問

高一の数学について

x + 2y = 3 のとき、 2x^2 + y^2 の最小値を求めよ。
という問題です。

x = -2y + 3
として、2x^2 + y^2
に代入。
最終的に
2x^2 + y^2 = 9( y - 4/3 )^2 + 2
となります。

この「y」というのが横軸なんですか？
どんな教科書でも問題集でも基本は
縦がy、横がx
なので、自然に横をxとしてしまうのですが、そんなこと決まってませんよね？
2x^2 + y^2 = 9( y - 4/3 )^2 + 2 の場合、yが横軸ですよね？

模範解答として
「x = 1/3 , y = 4/3 のとき最小値2」
なんですが、これは
「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」ですか？
「x = 1/3 または y = 4/3のとき」ですか？

あと、この「ｘ」とか「y」とかが分かりません。
2x^2 + y^2 = 9( y - 4/3 )^2 + 2
だから
y = 4/3 のとき最小値2
というのは分かります。

なぜ、 y = 4/3
がいるのか・・・。

たぶん最初の質問でつまずいてるので（軸について）
こんがらがっているのだと思います。

この問題について
説明をお願いします。

回答No.3

kujirakonbu · ベストアンサー

補足です

x + 2y = 3 のとき、 2x^2 + y^2 の最小値を求めよ。

x = -2y + 3
として、2x^2 + y^2に代入すると
9( y - 4/3 )^2 + 2

===========================
ここからは
9( y - 4/3 )^2 + 2　　・・・（A）
の最小値を求める話になります。
（新しく別の問題を解く感じです。）

当然ですがこの（A）の値はyの値によって変わります。
yがいくつの時に最小値をとるでしょうか。

これを考える際
t=9( y - 4/3 )^2 + 2
といった二次関数のグラフを考えれば最小値が求めやすいです。

別に
y=9( x - 4/3 )^2 + 2
という式でxがいくつの時にyは最小値をとるのか
と考えても使う文字が違うだけでやってることは同じです。

ですが、問題文ですでにx,yという文字は使われていて、ごっちゃになってしまうので

t=9( y - 4/3 )^2 + 2

といった具合に、便宜的に文字tをつかって表しているのです。
（当然ですが別にtじゃなくて、aだろうがzだろうが別の好きな文字でも構いません。）

回答No.2

kujirakonbu

y=9( x - 4/3 )^2 + 2
という関数があったとして、ｙの最小値の求め方はわかるでしょうか？
この場合、x=4/3　のときyは最小値2をとります。

問題の

9( y - 4/3 )^2 + 2　

の最小値ですが、これは

t=9( y - 4/3 )^2 + 2

としたとき、tの最小値を求めればいいということですよね。
このとき、y=4/3のときtは最小値2をとります。

上と見比べてみてください
y⇒t
x⇒y

と使っている文字が変わっただけで、意味は同じであるということがわかっていただけますでしょうか？

>この「y」というのが横軸なんですか？

上のように

t=9( y - 4/3 )^2 + 2

としたとき、習慣的にtを縦軸、yを横軸でイメージすると思います。

しかしyを縦軸、tを横軸としてグラフを書くこともできます。
（こうしたグラフを書くためには、上の式を　t=～　からy=～　に式変形すればよいと言えばイメージしやすいでしょうか）

合っているか合っていないというか、考えやすいかそうでないかですね。

>模範解答として
>「x = 1/3 , y = 4/3 のとき最小値2」
>なんですが、これは
>「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」ですか？
>「x = 1/3 または y = 4/3のとき」ですか？

「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」です。
y = 4/3 のとき確かに、

9( y - 4/3 )^2 + 2

は最小値2をとります。

ですが問題文の条件をよく見てください。

x + 2y = 3

という条件式があります。

y = 4/3　であれば、この条件式より
x = 1/3　は自動的に決定します。

補足

最初にでたyの値を条件式に代入してxも求めなければならない。
というのはわかりました。
しかし、グラフとして使った文字は「y」と「t」ですよね？
では、このxとは何者なんですか？
グラフと関係のある文字なのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

まず, 「この『y』というのが横軸なんですか？」という質問ですが, これはある意味無意味な質問です. 横軸だと思えば横軸ですし, 縦軸だと思えば縦軸. 軸だと思わなければ, もちろん縦軸でも横軸でもありません.
次に, 「x = 1/3 , y = 4/3 のとき」は「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」です.
最後の質問ですが.... ん～, これには「最大値・最小値を答えるときには, 値だけでなく『どのようなときにそれらの値となるのか』も答えるものだ」と答えておくのがいいかな.