積分について

質問

積分について

累積分布関数をG(x)とします。
E= -\inf _0 ^(A-q) x dG(x)
をqについて微分したいのですが、G(x)をどのようにすればいいのかで悩んでいます。
計算結果はどのようになりますでしょうか。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

まず、式「-\inf _0 ^(A-q) x dG(x)」の確認ですが,

・infとはintegral（積分）の意味でしょうか？
・とすると、積分範囲0~(A-q)は、G(x)の値がその範囲ということでよいでしょうか？
・qで微分する際,Aは定数と考えてよいでしょうか？

上記の点が想像のとおりだとして以下進めます。誤っていたらご指摘ください。

E= -\integral_0 ^(A-q) x dG(x)
=-\integral_{G^(-1)(0)}^{G^(-1)(A-q)} {x・dG(x)/dx}dx
　　（但し,G^(-1)(x)は、G(x)の逆関数）
=-[xG(x)]_{G^(-1)(0)}^{G^(-1)(A-q)}
+\integral_{G^(-1)(0)}^{G^(-1)(A-q)} G(x)dx

上式を、qで微分する。
右辺第1項の微分=d/dq[-G^(-1)(A-q)・(A-q)]
=-(A-q)d/dq[G^(-1)(A-q)]+G^(-1)(A-q)

右辺第2項の微分=d/dq[G^(-1)(A-q)]・(A-q)

以上から,
dE/dq=G^(-1)(A-q)
（なお、G(x)が累積分布関数ということでとりうる値が0～1である
　ことから、0<=A-q<=1であることが必要です）

お礼

大変丁寧なお答えを下さり、ありがとうございました。
(aquatarku5さんの言われるように、
inf=integralで、
0~(A-q)が積分の範囲を、
Aは定数になります)
いろいろとお察し下さり、重ねてありがとうございます。