果たしてこの積分が解けるのか？

質問

今しばらく考えているのですが、この積分が解けないのですが、解けるのでしょうか？教えてください。

これはアーラン分布の積分で分布関数を求める式なんですが。kの値が２の時は解けそうなんですが、、、。

{(1-X<n>)/X<n+1>}=Aとおきます。 　　　　　
<>内は添え字です。
^は乗です。
×（かける）は＊に統一しました。
まず

関数
G(x)={((4*k)^k)*(x^(k-1))*(e^(-4*k*x))}/(k-1)!

F(x)={((2*k)^k)*(x^(k-1))*(e^(-2*k*x))}/(k-1)!
とします。
そのときの

∫[0～y]∫[0～∞]{F(A*v)G(v)}dv*dX<n+1>

を解きたいです。（この上の式は｛｝の中をvとXn+1で積分することになります。）

∫の後の[　]は範囲です。

k=２の時も値がうまくでないので、もしよろしかったらk=２のときの値も知りたいです。
もちろん任意のkについての場合の式が出るに越したことはありませんが、、、。

よろしくお願いします。

回答No.2

ryn · ベストアンサー

補足ありがとうございます．

k,X<n> が定数ということなので
　F(x) の　{(2k)^k}/(k-1)!
　G(x) の　{(4k)^k}/(k-1)!
の部分は外に出します．

つまり，
　B = {(8k^2)^k}/{(k-1)!}^2
とおくと，求める積分は
　B∫[0～y]∫[0～∞]{A^(k-1)}*{v^(2k-2)}*exp[-2k(A+2)v]dv*dX<n+1>
となります．

今は，A の中に v は入っていないので
v についての積分は，本質的には
　I_n = ∫[0～∞]x^n*e^(-ax)dx　　　（a は正の定数）
が計算できればよいことになります．

この式の右辺を部分積分することで
　I_n = (n/a)∫[0～∞]x^(n-1)*e^(-ax)dx
　　　= (n/a)I_{n-1}
という漸化式が得られるので
　I_n = (n/a)*((n-1)/a)*…*(2/a)*(1/a)I_0
　　　= {(n!)/a^n}*∫[0～∞]e^(-ax)dx
　　　= (n!)/a^(n+1)
となることがわかります．

したがって，n→2k-2 , a→2k(A+2) に置き換えることで
（2k(A+2) が正の値であればですが…）
v についての積分を実行することができ
　B∫[0～y]∫[0～∞]{A^(k-1)}*{v^(2k-2)}*exp[-2k(A+2)v]dv*dX<n+1>
= B∫[0～y]{A^(k-1)}*{(2k-2)!}/{{2k(A+2)}^(2k-1)}dX<n+1>
= B*{(2k-2)!}/{(2k)^(2k-1)}∫[0～y]{A^(k-1)}/{(A+2)^(2k-1)}dX<n+1>
となります．

あとは
　∫[0～y]{A^(k-1)}/{(A+2)^(2k-1)}dX<n+1>
ですが，ここで A に
　{(1-X<n>)/X<n+1>}=A
を代入すると大変だったので
この式を用いて置換積分をします．
　dX<n+1> = -{(1-X<n>)/A^2}dA
　A: ∞～(1-X<n>)/y
に注意すると
　∫[∞～(1-X<n>)/y]{A^(k-1)}/{(A+2)^(2k-1)}*{-(1-X<n>)/A^2}dA
= (1-X<n>)∫[(1-X<n>)/y ～∞]{A^(k-3)}/{(A+2)^(2k-1)}dA
となります．

α = (1-X<n>)/y とおくと
k=2 であれば
　∫[α～∞]1/{A*(A+2)^3}*dA
となるので部分分数に分解すれば積分できます．

k=3 のとき A^(k-3) = 1 となるので
すごく特殊な気もしますが
どこかで計算間違いをしたかな？

お礼

詳しい内容ありがとうございます。
k=2のとき、
∫[α～∞]1/{A*(A+2)^3}*dAを部分分数にしてみると、
解が発散してしまいました。
解が発散すると、どうにもなりません。
私の頭脳ではどこが間違っているのかも、
皆目検討がつきません。
私の式がおかしいのかもしれません。
何回も書き込んだ式を確認したんですが間違っている気配はないのですが、根本的に式が間違っているのかもしれません。
もう少し、考えてみたいと思います。
もし、何か、ありましたら、また書き込みお願い致します。

回答No.3

ryn

> ∫[α～∞]1/{A*(A+2)^3}*dAを部分分数にしてみると、
> 解が発散してしまいました。
これは大丈夫だと思います．

部分分数分解すると
　(1/8)∫[α～∞]{1/A - 1/(A+2) - 2/(A+2)^2 - 4/(A+2)^3}*dA
となるので，積分すると１項目，２項目から log が出てきますが，
　(1/8)[ ln(A/(A+2)) + 2/(A+2) + 2/(A+2)^2 ]
のようにまとめてしまえば，A→∞のとき
　ln(A/(A+2)) → 0
となります．

ただ，積分結果が
　-(1/4)*{ 1/(α+2) + 1/(α+2)^2 }
と，見た目で負になっていますがどうでしょう？
もともとは
　B*{(2k-2)!}/{(2k)^(2k-1)}*(1-X<n>)∫[α～∞]1/{A*(A+2)^3}*dA
と前にいろいろかかっているので
　1-X<n>
が負の値をとれば，場合によっては全体が正になるのですかね？

回答No.1

ryn

> この上の式は｛｝の中をvとXn+1で積分することになります
X<n> , k は定数と考えてよいのでしょうか？

補足

そうですね。変数はXn+1とｖだけです。