方程式が解けません。

質問

この式をrについて解くとどうなるのでしょうか。
ちなみに、複利運用時の金利について試算を
行いたいと思っています。
どなたかよろしくお願いします。

0.2ab-0.8b[(1+r){1-(1+r)^a}/r]=c

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

0.2ab-0.8b[(1+r){1-(1+r)^a}/r]=c
x=1+r
K=(0.2ab-c)/(0.8b)
とおいて、整理すると
f(x)=x^(a+1)+(K-1)x-K=0
という方程式になります。
さて、x=1とすると
f(1)=1+(K-1)-K = 1+K-1-K=0
ですから、x=1が解、つまりｒ＝0となっちゃいますが、これは元の式では分母にrが来ているから反則ですね。x=1でない解を求めなくちゃいけません。

さてさて、利息の計算らしいからa>0、r>0(x>1)の範囲での解を求めているだろうと勝手に想像します。すると、
f(x)のxによる一階微分、二階微分は
f'(x)=df/dx = (a+1)(x^a)+K-1
f''(x)=df'/dx = a(a+1)(x^(a-1))
なので、a>0, x≧1だとすればf''(x)の符号は常に正であり、従って、f'(x)はx≧1で単調増加。また
f'(1)= a+K
ですから、x>1の範囲に解があるためには、a+K<0でなくてはなりません。つまりf(x)は下に凸の関数である必要がある。x>1の範囲では（f'(x)が単調増加ですから）その解は１個しかなく、しかもその解は
f(x)=x^(a+1)+(K-1)x-Kが極小をとるx=pよりも大きい筈です。そこで
f'(p)=(a+1)(p^a)+K-1=0
を解くと、
p =exp[{ln(1-K)/(a+1)}/a]
ですね。
まとめると、
a>0、x>1の解が存在するためには
●a+K<0であることが必要。
●その場合、x>1である解は１個だけであり、それはp=exp[{ln(1-K)/(a+1)}/a]よりも大きい。
ちゅうことになります。

どのみち、数値計算をしたいわけですから、ニュートン法を使うことにしましょう。Excelかなんぞで簡単に計算できます。すなわち
x[0]=2p
ぐらいから始めて
x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f'(x[n])
によって解xを改良するのが良さそうです。

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ありません。
ご丁寧なアドバイスをありがとうございました。
stomachmanさんのアドバイスを参考にして
試算してみたいと思います。

回答No.2

thetas

試算の手助けになれば、ということで式変形を
してみました。

　ab-4b[(1+r){1-(1+r)^a}/r]=c

　4b[(1+r){1-(1+r)^a}/r]=ab-5c

　ここで、R=1+r とおいて

　4bR(1-R^a)/r=ab-5c

　R(1-R^a)/r=(ab-5c)/4b

　r/R(1-R^a)=4b/(ab-5c)

　右辺を d とおいて

　(1+r)/R(1-R^a)=d+1/R(1-R^a)

　R/R(1-R^a)=d+1/R(1-R^a)

　R=dR(1-R^a)+1

　dR^(a+1)+(1-d)R-1=0

となります。

　式を打ち込んでいるときの思ったのですが、
もしかして、お節介ならばご容赦ください。

お礼

お礼が遅れまして申し訳ありませんでした。
お節介なんてとんでもないです。
どうもありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.1

noname#16572

代数的に解くのはむずかしそうです。
mathematicaで超越関数がでてきそうという警告がでました。
適当に数字を入れて何通りか試算した方が早いとおもいます。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
思っていた以上に難しい式だったようです。
コツコツと具体的な数値で試してみます。