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√２、√３は無理数であるとことを使って、√２＋√３も無理数であることを
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前のお二方が書いておられるように、 √2 + √3 が有理数だと仮定すると √6 = ((√2 + √3)~2 - 5)/2 も有理数 ということになってしまうことから、 背理法で示すことができます。 では、√6 が無理数であることは どうやれば示せるかというと… 「√2, √3 が無理数であることを使って」 示すことは、できません。 √2 や √3 が無理数であることを示すのと 同様の手法で証明することになるでしょう。 ↓ √6 が有理数だとすれば、 互いに素な自然数 p, q によって √6 = p/q と表すことができる。 式を変形して、6qq = pp。 左辺が 2 で割りきれることから、 右辺も 2 で割りきれなくてはならず、 p は 2 で割りきれる。 よって、右辺が 4 で割りきれることから、 左辺も 4 で割りきれなくてはならず、 q も 2 で割りきれる。 これは、p, q が互いに素であることに矛盾する。 したがって、背理法により、√6 は無理数。
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- nag0720
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√２＋√３が有理数 ↓ （√２＋√３）＾２＝５＋２√６は有理数 ↓ √６は有理数 √２＋√３が有理数 ↓ （√２＋√３）√２＝２＋√６は無理数 ↓ √６は無理数
お礼
早々のお返事有難う御座います。 解りやすくとても嬉しく思います。
- nishiyany
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ここの http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004.htm 背理方法の例題の例２はダメですか？
お礼
プリントアウトして、ゆっくり理解しようと思います。 有難うございました。
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お礼
alice_44様 沢山有難うございました。 大変解りやすく助かりました。