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０は無理数ですか？
ちょっと急ぎなもので教えてください。 いま背理法の証明をしているのですが、 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=378364 行き詰まってしまいました。 [問題] a+b√3＝c+d√3 ・・・(1) (a,b,c,dは有理数[整数÷整数の分数で表せる数]) のときに, a=c, b=d であることを証明せよ 証明方法はわかるのですが、いまいち理解できていません。 ０は無理数なのかわかるとありがたいのですが。 よろしくお願いします。
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こんにちは。maruru01です。 0=0/1 0=0/2 などと表せるので、0は有理数です。 それから、0で割ってはいけません。 (a-c)/(b-d)としている時点ですでに、 b≠d と仮定していることになります。 だから、 ＞b=d、かつa=cと仮定すると ＞√3＝(c-a)/(b-d) ということをしてはいけません。 ありえません。 ちなみに b≠d の場合に、a=cでも、 √3=0 で、無理数=有理数なので矛盾になります。
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- oshiete_goo
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＞私は＞b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。 ＞その場合は、素直に a+b√3=c+d√3 をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか？ 全くその通りです. b=d、かつa=cと仮定する場合に, 与式(1)が成立することは認めてしまって良いです. それ以上いじる必要はありません.
- bumin
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a+b√3＝c+d√3 これを展開して… √3(b-d)=(c-a) a,b,c,dが有理数の場合、 (c-a) (b-d) は必ず有理数です 一方、√3は無理数です 無理数にいくら有理数を乗じても有理数にはなりません したがってこの式を成立させるためには(b-d)=0として無理数√3を消さねばならず、その結果(c-a)も=0になる ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ かなりむちゃな設問ですが、このような手順で証明されればで宜しいのでは？
- fushigichan
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こんにちは。 a+b√3=c+d√3 a-c=(d-b)√3 b≠dとすると d-b=e:０以外の有理数 とおける a-c=e√3 となり、左辺は有理数、右辺は無理数となり、矛盾。 よってb=d a≠cとすると a-c=f:0以外の有理数 とおけるが f=0 となり矛盾。 よってa=cも成り立つ 以上より、a=c,b=d が成り立つ。
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お礼
早速の返信ありがとうございます。 確認なのですが、 ＞＞b=d、かつa=cと仮定すると ＞√3＝(c-a)/(b-d) ということをしてはいけません。 ありえません。 ということですが、そんな気がしてきました。 私は＞b=d、かつa=cと仮定する場合、矛盾しないかを確かめたかったのです。 その場合は、素直に a+b√3=c+d√3 をいちいち展開せずに考えていればいいんでしょうか？ 確かにこれはこのままでb=d、かつa=cだと矛盾しませんね。