3項間漸化式の解法と数列の表し方について
- 3項間漸化式a(1)=1,a(2)=2,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0(n=1,2,3,...)で定義される数列を{a(n)}とするとき、問題(1)ではα=-1,β=2またはα=2,β=-1が答えとなります。
- 問題(2)では、α=-1,β=2とすると、a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)>となります。ただし、a(1)=1, a(2)=2のため、問題(2)は成り立ちません。
- したがって、問題(2)においてa(n)をnの式で表すことはできません。
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3項間漸化式
3項間漸化式 a(1)=1,a(2)=2,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0(n=1,2,3,...)で定義される数列を{a(n)}とするとき、次の問いに答えよ 壱,a(n+2)=a(n+1)+2a(n)をa(n+2)-αa(n+1)=β<a(n+1)-αa(n)>と変形するとき、係数α,βの値を求めよ 弐,a(n)をnの式で表せ という問題で、(1)は出来たのですが、(2)の途中からがわかりません。 壱は、α=-1,β=2 , α=2,β=-1 が答えになります 弐 α=-1,β=2とすると、 a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)> a(2)+a(1)=2 ←この部分が何故こうなるかがわかりません。 以下略 右辺の<>の部分で左辺を割ったのですか・・・? 形が似ているからなんとなく、そう思うのですが、不安です。 そもそも、a(1)=1,a(2)=2 だから、これって成り立たないのではないのですか? 教えてください。
- uaaan
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{a(n+1)+a(n)}を新しくb(n)とおくと、漸化式はb(n+1)=2b(n)となり、公比が2の等比数列ですよね。 で、もちろん初項b(1)がなければ一般項は決定できませんからb(1)を計算するわけです。 b(n)=a(n+1)+a(n)とおきましたので、両辺にn=1を代入すると b(1)=a(1+1)+a(1)となり、求めることができますね。 a(n+2)+a(n+1)=2{a(n+1)+a(n)}を変形しているわけではありませんよ。
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- spring135
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3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0とa(n+2)=a(n+1)+2a(n)の関係がわかりませんが正攻法で行きましょう。 3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0 ie a(n+2)-4a(n+1)/3+a(n)/3=0 (1) の特性方程式 t^2-4t/3+1/3=0の解をα,βとすると (1)は a(n+2)-(α+β)a(n+1)+αβa(n)=0 (2) (4/3=α+β, 1/3=αβと思えばよい) このとき (2)は a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n)) =β^n(a(2)-αa(1)) (3) 同様に a(n+2)-βa(n+1)=α^n(a(2)-βa(1)) (4) (3)*β-(4)*αより(*は×) (β-α)a(n+2)=β^(n+1)(a(2)-αa(1))-α^(n+1)(a(2)-βa(1)) よってβ≠αならば a(n)=(β^(n-1)(a(2)-αa(1))-α^(n-1)(a(2)-βa(1)))/(β-α) QED
補足
a(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n)) =β^n(a(2)-αa(1)) (3) ←ココの部分がよくわかりません 左辺も右辺も一緒にn乗しないと駄目なのではないのですか? それとも、両辺をn乗した結果、二行目の状態になったのでしょうか? 大前提なことかもしれませんがすみません教えてください。
- lialhyd
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いや、なんか誤植とかじゃないかなぁ? 普通は壱を利用して b(n)=a(n+1)+a(n)、c(n)=a(n+1)-2a(n)の置き換えを行い、{b(n)}と{c(n)}を等比数列として決定しますよね。 a(2)+a(1)はb(1)ですから、正しくは3だと思います。
補足
んん・・・っと、置き換えをしたらどういうになっていくのでしょうか? 教えていただけるとありがたいです。 a(2)+a(1)=3 が正しいというのはわかったのですが、 a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)> が、どうしたら a(2)+a(1) になるのかがよくわかりません・・ a(n)で両辺を割る・・・もしくは引いたらいいのでしょうか? でもそうしたら、 a(2)+a(1)=2<a(1)+0> になってしまいません? これの計算方法っていまいちよくわからなくって・・・ 教えてください
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