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三角形の重心
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- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
#1です。 #2さんの回答でも同じようなことが言われていますね。 まず、次のことを証明しましょう。 「三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ D, E, Fとする。 辺ADと辺EFの交点を Lとすると、EL= FL(つまり、Lは辺EFの中点)である。」 辺ADは三角形ABCの中線であり、 上のことが証明できれば辺DLは三角形LMNの中線であることがいえます。 中線連結定理より、BC〃EF よって、三角形ABD∽三角形AFL、三角形ACD∽三角形AELであり、相似比は 2:1となる。 すなわち、FL= 1/2* BD、EL= 1/2* CD 点Dは辺BCの中点であるから、BD= CD よって、FL= ELである。 他の 2辺(CAと AB)についても同様に示すことができます。 すると、三角形ABCの中線と三角形DEFの中線が一致することとなり、 その交点である重心も一致することが示されます。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
重心は各辺の中点と頂点を結ぶ3中線の交点が重心になります。 次のサイトのように三角形と中線の交点に符号を付ける。 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/jyuusin.htm △ABCと△DEFは相似形で相似比が2:1で△DEFの3辺は△ABCの3辺に平行になります。3中線AD,BE,CFと△DEFの3辺と交点をそれぞれL,M,Nとすると、L,M,Nが辺EF,DF,DEの中点になることを示せば△ABCの重心Gが△DEFの重心と一致することが示せます。このことは△ABCと△DEFが相似でかつ各辺がそれぞれ平行であること、D,E,Fが△ABCの中点であることから示せます。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 証明方法はいくつかあると思いますが、「相似や合同、平行」と書かれているので、そのあたりから。 まず、「重心が一致する」ということは、 「2つの三角形の中線の交点が一致する」ことを示せばよいですね。 これが証明の根本になります。 さて、比較的このことを簡単に示すことができます。 というのは、「中線自体が一致している」ことが示されるからです。 中線連結定理を用いることで示すことができます。 一度、考えてみてください。^^
お礼
ありがとうございます。 中点連結定理については理解できました。 が、そこからどのようにして重心と重心が一致することを証明すればよいのかがイマイチです・・・。 ぜひ、そこのあたりを教えて頂ければ助かります! よろしくお願いします。
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