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数列の証明

nC0＋nC2＋nC4＋・・・・nCn(ｎ＝2k)＝２のn-1乗の証明ってどうやってするんでしょうか？

みんなの回答

  • debut
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回答No.5

２項定理から (1+x)^n=nC0+nC1x+nC2x^2+・・・・+nC(n-1)x^(n-1)+nCnx^n x=1で、2^n=nC0+nC1+nC2+・・・+nC(n-1)+nCn x=-1で、0=nC0-nC1+nC2+・・・-nC(n-1)+nCn 辺々たすと　2^n=2(nC0+nC2+・・・+nCn) 両辺を２で割って 2^(n-1)=nC0+nC2+・・・+nCn 。

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.4

二項定理から、 (n-1)C0＋(n-1)C1＋(n-1)C2＋・・・・＋(n-1)C(n-1)＝2^(n-1) nが偶数のときは、上記の(n-1)Ckの項数は偶数個あるので、 最初と最後の項を除いて２つずつ足すと、 (n-1)C(k-1)＋(n-1)Ck＝nCk かつ、(n-1)C0=(n-1)C(n-1)=nC0=nCn=1 であることから、 (n-1)C0＋{(n-1)C1＋(n-1)C2}＋{(n-1)C3＋(n-1)C4}＋・・・・＋(n-1)C(n-1) ＝nC0＋nC2＋nC4＋・・・・＋nCn

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

ああ、k が偶数だけか。これは失礼。 (x,y) = (1,1) を代入した式と (x,y) = (-1,1) を代入した式との 平均をとれば、完了。

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

二項係数 nＣk の定義は、 恒等式 (x+y)^n = Σ[k=0…n] (nＣk)(x^k)y^(n-k) です。 x = y = 1 を代入すれば、完了。 公式 nＣk = (n !) / { (k !) (n-k) ! } は、 上の式を x で k 回、y で n-k 回 微分すると得られる 定理です。

norinoriep
質問者

補足

この定義はあくまで nC0＋nC1＋nC2＋・・・nCnの時に適用されるものじゃないんですか？

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  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

数学的帰納法もしくは 二項定理(1+x)^{n-1}にx=1を代入

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