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ハミルトン・ケイリーの定理に関する質問です。
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代入は、できません。 代入したように見えるだけです。 スカラーも行列の一種。1×1型の行列です。 行列の変数に、寸法の異なる行列を代入 できる訳がありません。 スカラーの多項式へ代入できるのは、 スカラーに限られます。 貴方自身の文章に、「Φ(A) を定義すると」 と、ありますね。 スカラーの多項式 Φ(x) に対応する 行列の多項式 Φ(X) を定義し、 それの行列変数 X に、行列 A を代入 しているのです。 この操作のことを、手短に、 「Φ(x) へ A を形式的に代入する」 と言います。「形式的に」と付いているのが ポイントです。 スカラー多項式 Φ(x) から 行列多項式 Φ(X) を作るには、 Φ(x) の k 次項の係数 a_k を取り出して、 行列の計算として Φ(X) = Σ(a_k)X~k と、置けばよい。 Φ(x) から a_k を取り出すには、 a_k = ( (d/dx)~k Φ(x) [x=0を代入] ) / (k !) とすれば済みます。
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- sono0315
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ΦA(x)=det(xE-A) この式のxの部分にAを入れるわけですが、結局のところ ΦA(A)=det(AE-A)=det(A-A)=0 となりますよね。 形式上ではxにAを代入して、スカラーと行列で対応が取れないように見えますが、 xEにAを入れているとみても問題ないですよね
- Tacosan
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「Aは行列式」じゃないよ. 行列式だったら悩むのは変. 定数項をスカラー行列に置き換える必要はあるけど, 基本的には形式的に「代入する」だけ. 行列のべき乗は計算できるし, スカラー倍や行列同士の和も計算できるからね.
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