三角関数の問題です。

質問

三角関数の問題です。

Solve: sin(2θ)+ cos(2θ)= tan(θ)
(θの範囲の指定はありません。)

アメリカの高校の数学の問題ですが
宜しくお願いします!!

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

#3さんの(1)が一番無難な方法だと思います。
あとは、単位円上でどの角度が条件を満たすかを考えて、
2πの整数倍（または符号を変えたもの）を考えていけばよいと思います。

tanθ＝x もしくは tan(θ/2)＝xとおく方法は、公式という形ではみたことがないです。
レベルの高い教科書なんだと思います。
わたしの遠い記憶では、昔々の微分積分の赤チャートで見たぐらいです。

お礼

回答ありがとうございますm(_ _)m

やはり公式ではないんですね。
迷いがなくなりました！
ありがとうございます＾＾

回答No.6

htms42

ｔａｎ(θ／２)＝ｔ　と置くというのは昔やった記憶があります。
ｓｉｎθ、ｃｏｓθ　の組み合わせの問題に対して有効なことが多いということでした。
それは倍角の式を使うとｓｉｎθ、ｃｏｓθ　がｔで表されるからです。
この問題の場合はｓｉｎ(２θ)、ｃｏｓ(２θ)ですからｔａｎθ＝ｔと置くということになります。

回答No.5

mister_moonlight

＞レベルの高い教科書なんだと思います。

数研出版の教科書だよ。
授業用の問題集は“オリジナル”だけどね。

回答No.3

alice_44

No.1 のような流暢な変形を思いつかない場合に、
いつも試みるとよいことは…
(1) sinθ と cosθ だけの式へ変形してみる。
(2) tanθ だけの式へ変形してみる。

(1) は、たぶん誰もがやってみるけれど、
(2) に使う公式を知らなければ、
覚えておいたほうがいい。

t = tan(x/2) と置くと、
sin x = 2t/(1+t~2),
cos x = (1-t~2)/(1+t~2).
この公式は、軌跡の問題とか、積分計算などでも
役に立つ。

これを使って (2) を行うと、
与式 ⇔ (2t+1-t~2)/(1+t~2) = t.
分母を払って、t の三次方程式を解けば、
t = ±1 であることが解る。

tanθ = ±1 を満たす θ は、
θ = ±(π/4) + nπ ただし n は任意の整数。

お礼

回答ありがとうございますm(_ _)m

軌跡の問題や積分計算で役に立つ公式なんですか。
詳しい説明 ありがとうございました！

軌跡ってconic のことみたいですね・・・
conic すでにやってるんですけど
触れてませんでした..orz
積分で出てくるかな・・

回答No.2

mister_moonlight

tan(θ)＝xとすると、sin(2θ)＝（2x）/（1＋x＾2）、 cos(2θ)＝（1-x＾2）/（1＋x＾2） であるから条件式に代入すると、（x-1）*（x＋1）＾2＝0。
後は、これを解いて一般角で求めるだけ。

（注）sin(2θ)＝（2x）/（1＋x＾2）、 cos(2θ)＝（1-x＾2）/（1＋x＾2） は公式として、日本の高校では習うんだが、アメリカでは？

お礼

回答ありがとうございました。m(_ _)m

少なくとも私の通ってる学校では教えられていません。
おそらく、その公式を展開すると元の2倍角の公式になるので
習う必要性がないとPh.D.が判断したのだと思います。

因みに、手元にある数学II(東京書籍)、チャート式(青)に
そのような公式は掲載されていませんが？

回答No.1

nag0720

sin(2θ)+cos(2θ)=tan(θ)
2sin(θ)cos(θ)+cos(2θ)=tan(θ)
tan(θ){2(cos(θ))^2-1}+cos(2θ)=0
tan(θ)cos(2θ)+cos(2θ)=0
cos(2θ){tan(θ)+1}=0
cos(2θ)=0　または　tan(θ)=-1
θ=(n/2+1/4)π　（nは整数）

お礼

回答ありがとうございました。m(_ _)m