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線形代数の問題で・・・
頂点Viを出て頂点Vjに至る長さkの歩道の総数は、行列A^kの(i,j)成分に等しいことを、kに関する帰納法を用いて証明せよ。 という問題を出されました。しかし、いくら考えてもわかりません。どうか、教えてください。
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自然数nに対して、Iをn次単位行列とし、Aをその行列式が0でない任意に与えたn次正方行列とする。n次正方行列XがAの逆行列であるとは、XA=Iを満たすこととする。この場合、XA=Iが成立すれば、AX=Iも成立する。この命題の証明に関して以下の問いに答えよ。 XA=Iが成立しているものとする。そして、ベクトルa_1,a_2,・・・,a_n( _ はaに下付きでnがついていることを表す)で行列Aを構成するn個の列ベクトルを表すものとする。すなわち、(a_j)_iでベクトルa_jの第i成分を表し、A_ijで行列Aの第i,j成分を表すとすれば、i,j=1,2,・・・,nに対して、 (a_j)_i=A_ij となるものとする。また、ベクトル0およびOで、それぞれ、全ての成分が0であるベクトルおよび行列を表すものとする。 (1)(AX-I)A=Oが成立することを示せ。 (2)XA=Iを用いて、ベクトルa_1,a_2,・・・,a_nが、1次独立であることを示せ。 (3)一般に、n次元ベクトル空間において、任意のn+1個のベクトルは1次従属である。この関係と(2)の結果を用いて、n次元ベクトル空間の任意のベクトルを、ベクトルa_1,a_2,・・・,a_nの1次結合で表すことができることを示せ。 (4)(3)の結果を用いて、任意のベクトルyに対して、ベクトルy=Ax(xはベクトル)を満たすベクトルxが存在することを示せ。 (5)n次元ベクトル空間において、行列Bが任意のベクトルfに対してBf=0(fと0はベクトル)を満たすならば、B=Oとなることを示せ。 (6)(1)と(4)の結果を用いて、任意のベクトルyに対して、(AX-I)y=0が成立することを示せ。さらに、(5)の結果を用いて、AX=Iが成立することを示せ。 上で示した問題に関する質問です。 (1)を解くにあたって、AXにIを代入するとダメですか? 文章には、「この命題の証明に関して以下の問いに答えよ」とあるので、この問題全体はAX=Iということを証明する問題で、それぞれの問題を解くのにこれは使用したらダメなのかなと思ってしまったのですが…。 どうなのでしょうか? もしダメならば、(1)の問題は、どのように解いていくのがベストなのでしょうか。 また、他にも文章中に出ている条件で使用してはいけないものってあるのでしょうか。 よく分からない問題です。 (1)に関して、もしAX=Iを代入してよいのならば、(1)で示されている 式が成立するのは一目瞭然ですし・・・ 他の問題に関しても何かヒントをいただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。
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