div(電位Ｖ) の 計算過程 に 就いて

質問

お教え下さい
非常にプリミティブな質問で、本当に恐縮なのですが、
初心者なので、よろしく お願い致します

極座標系で、点電荷からｒ離れた位置での電位での、divＶ (Ｖ は ベクトル)を求める場合、
極微小体積を、＝(r^2 sinθ Δθ Δφ)と するのは、理解出来ますが、
r位置の床面での流入量を、＝r^2 Ｖr(r,θ,φ) sinθΔθΔφ、
(r+Δr)位置の、天井面からの流出量を、
＝(r+Δr)^2 Ｖr((r+Δr),θ,φ)sinθΔθΔφ、
とした時に、その ｒ成分 に関しては、
(1／r^2){(r+Δr)^2 Ｖr((r+Δr),θ,φ)sinθΔθΔφ
　　　　　 - r^2 Ｖr(r,θ,φ) sinθΔθΔφ}／Δr …１式
とし、ここで Δr→0 と 持ってゆけば、最後に極微小体積で割って、
＝(1／r^2)(∂／∂r){ r^2 Ｖr(r,θ,φ) } …2式
に なる、と 書いてあるのですが、これが全く わからないのです

どの様に こね回しても、2式には到達し得ないので、困り果てました
1式の { }内の最初の項 (r+Δr)^2 を因数分解すると、最後には、Ｖr(r,θ,φ) なる項が 現れて消えないし、かと言って、先に1式の{ }内のΔrを、→ =0 にして Tailor展開をすると、2式で示されている (r^2 Ｖr(r,θ,φ)) の様な、r^2の項が 先頭には出て来ません（そもそも1式の、(r+Δr)^2 の項の Δrを 先に =0 にしてから…、等と言う 手前勝手な操作は、許されないでしょう？）

　　従って 何うしても 2式の様に ＝(1／r^2)(∂／∂r)(r^2 Ｖr(r,θ,φ)) には ならないので、困って居る次第です
（更には、θ成分 や φ成分 についても 示されている解とは一致しないのですが、今回はこれを問いません）
出来れば、２式に至る計算過程を 詳しくお教え頂けたら、と 願っております
宜しく お願い 致します
akqspより

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

ANo.1です。
(Δr)^2の項が抜けていましたので書き直します。
（どのみち消えて無くなる・・・！）
あと(sinθΔθΔφ)を省いて書きます。（見難くなるので！）

Δr→0とすれば
(1式)=(1／r^2)・lim[Δr→0]{{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr + 2rVr((r+Δr),θ,φ) + ΔrVr((r+Δr),θ,φ)}
=(1／r^2)・lim[Δr→0]{{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr + 2rVr(r,θ,φ)}
=(1／r^2)・{r^2∂Vr/∂r+2rVr(r,θ,φ)}
=(1／r^2)・{(∂/∂r)r^2・Vr(r,θ,φ)}

回答No.3

Ae610

f,gが微分可能な関数であるときに
d/dr{f(r)g(r)} ・・・はどうなりますか？

回答No.1

Ae610

(1／r^2){(r+Δr)^2 Ｖr((r+Δr),θ,φ)sinθΔθΔφ - r^2 Ｖr(r,θ,φ) sinθΔθΔφ}／Δr …１式

(1式)=(1／r^2){(r^2+2rΔr)Vr((r+Δr),θ,φ)- r^2 Vr(r,θ,φ)}(sinθΔθΔφ/Δr)
=(1／r^2){{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr + 2rΔrVr((r+Δr),θ,φ)/Δr}(sinθΔθΔφ)
=(1／r^2){{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr + 2rVr((r+Δr),θ,φ)}(sinθΔθΔφ)

Δr→0とすれば
(1式)=(1／r^2)・lim[Δr→0]{{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr + 2rVr((r+Δr),θ,φ)}(sinθΔθΔφ)
=(1／r^2)・lim[Δr→0]{{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr + 2rVr(r,θ,φ)}(sinθΔθΔφ)
=(1／r^2)・{r^2∂Vr/∂r+2rVr(r,θ,φ)}(sinθΔθΔφ)
=(1／r^2)・{(∂/∂r)r^2・Vr(r,θ,φ)}(sinθΔθΔφ)

お礼

Ae610様

　　このたびは 真に 有難うございました
未だ 理解には至らぬ点もありますが、
又別の質問にて お世話になります

　　今回は 本当に有難うございました

補足

Ae610様

早速の1回目、追加の2回目のお教え、有難う御座いました
良く良く計算経緯のトレースが出来ました
有難う御座いました

但し、最後に一つ、
何うしても解らない箇所、が 残って居ります

1回目、2回目のお教えの、共に 下2行目と 最終行とで示された式、
即ち、下2行目の、
=(1／r^2){(r^2)(∂／∂r)Ｖr(r、θ、φ) + 2rＶr(r、θ、φ)}
から、最終行の、
=(1／r^2){(r^2)(∂／∂r)Ｖr(r、θ、φ)}
に至るのは、どの様な計算過程を経て、到達するのでしょうか？
最初の私の質問中の文面、[ …最後には、Ｖr(r,θ,φ) なる項が
現れて消えないし、… ]と 言うて居るのも、 当に この点なのでした

左うして 極微小体積 =r^2sinθΔθΔφ で 割ると、{ }内のr^2 の項が
消え去るのですが、是を残こす計算は 如何様にして行えば 良いのでしょうか？

と 言うのも、
=(1／r^2)・lim[Δr→0]{{r^2・(Vr((r+Δr),θ,φ) - Vr(r,θ,φ))}/Δr
+ 2rVr(r,θ,φ)}／(r^2sinθΔθΔφ)
と 置きますと、{}内のr^2項と 分母の()内のr^2 とが 消去されて無くなるのですが、これは 何の様に対処したら宜しいのでしょうか？

重ね重ね恐縮ですが、宜しくお教え戴きたく 思います
akqsp 拜