極限・微分の定理（高校数学）

質問

ところどころ止まってしまっています。
（1）はまず、真数＞0より、ｘ＞0、ｆ`（ｘ）＝（2logｘ－3）/ｘ＾3
これを＝0としてｘ＝ｅ＾3/2
0より大きいところで増減表をかくと、↓-1/（2ｅ＾3）↑
ｘ→∞は→0なのはわかるのですが、
ｘ→＋0はｙ軸にそって正に無限大ですよね？

（2）は極値をもつ条件はｇ`（ｘ）の符号が正から負、負から正になったとき、
それぞれ極小、極大と言えたと思うんですが、
実際答案として描くとすると、どのように書けばよいのでしょうか？

（3）は（2）のaの範囲を踏まえて、a＝と分けてY＝aとの交点の個数を求めるのでしょうか？

あいまいな部分が多いです。ご指導、よろしくお願いいたします。

aは実数の定数とするとき、
ｆ（ｘ）＝（1－logx)/ｘ＾2、ｇ（ｘ）＝ｘ＋（a＋logｘ）/ｘ
（ただし、limｘ→∞logｘ/ｘ＝0は用いてよい）
（1）ｆ（ｘ）の増減を調べて、グラフをかけ。
（2）ｇ（ｘ）が極大値、極小値をもつためのaの条件を求めよ。
（3）（2）のとき、方程式g（ｘ）＝0の実数解の個数を求めよ。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
>ｘ→＋0はｙ軸にそって正に無限大ですよね？
その通りです。

(2)
>実際答案として描くとすると、どのように書けばよいのでしょうか？
x=kでg'(x）の符号が正から負に変わるからg(x)はx=kで極大値 g(k)をとる。
x=hでg'(x）の符号が負から正に変わるからg(x)はx=hで極小値 g(h)をとる。
などと書けばいいでしょう。

或いは

増減表を作成して、増減表からx=kでg(x)は極大値g(k)をとり、
x=hでg(x)は極小値g(h)をとる。

などと書いてもいいです。

(2)aで場合わけして極小値が存在しない場合、極小値が存在する場合（この場合は極小値が正である）ごとにy=g(x)がx軸との交点を調べればいいですね。
両方の場合とも実数解は1個となります。

補足

回答、ありがとうございます。
いつもお世話になっております。

（2）ですが、g`（ｘ）＝｛ｘ＾2＋a（1ーlogｘ）｝/ｘ＾2
となるので、g`(ｘ)＝0とすると、
g`(ｘ)＝1＋af(ｘ)＝0⇔f(ｘ)＝－1/a
（1）のグラフを利用して、y＝－1/aが２つの交点を持つところ
（正→負、負→正をみたす）の範囲をとって、
－1/（2e＾3）＜－1/a＜0⇔2e＾3＜a
が求めるaの範囲かと思うんですが・・・。

でも、そうすると、（3）が何をしたらいいのか分からなくなるので、
やっぱり、これは間違いですよね？？

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足質問の回答

>（2）ですが、g'(x)={x^2+a(1-logx)}/x^2　…(■)
> となるので、
となりません。
g(x)=x+((a+log(x))/x)
g'(x)=1-(a/x^2)+((1-log(x))/x^2)
=(x^2+1-a-log(x))/x^2
(A)g'(x)=0が実数解を持たない場合（極値なし） a<(3+log(2))/2,
(B)g'(x)=0が重解を持つ時（極値なし）　a=(3+log(2))/2
　重解は x=1/√2
(C)g'(x)=0が異なる2実数解を持つ場合（極大、極小値を1つずつ持つ）
　a>(3+log(2))/2　…これが(2)の解になりますね。
このaの範囲で場合分けして、
(A),(B)の場合x>0でg(x)が単調増加関数でなので実数解が一個であることは容易に分かると思います。
(C)の場合は極小値が正になるのでやはり実数解が一個であることが分かります。

したがって、以下はボツになります。
>g`(ｘ)＝1＋af(ｘ)＝0⇔f(ｘ)＝－1/a
>（1）のグラフを利用して、y＝－1/aが２つの交点を持つところ
>（正→負、負→正をみたす）の範囲をとって、
> －1/（2e＾3）＜－1/a＜0⇔2e＾3＜a
> が求めるaの範囲かと思うんですが・・・。

合っているかは範囲を満たす簡単なaの値を代入してg(x)のグラフを描いて見ることです。或いは満たさない範囲のaを代入して確かにg(x)が極値を持たないか確認すると間違い、或いは合っていそうということが分かります。上の範囲を満たさない a=2を入れるとg(x)は極値を持たないはずですが、x=1でg'(1)=0となり極小値g(1)=3を持ちます(極大値も存在します)。
なので間違いがと気づくべきです。最初の（■）のg'(x)の式で間違っているので正しい結果が出ないのは当然ですが。。。

>やっぱり、これは間違いですよね？？
そう間違っています。

お礼

回答ありがとうございました。
実は・・・今気づいたのですが、問題が間違っておりました。
大変失礼いたしました。
この質問を締め切るべきなのか迷いましたが、
念のため、以下に正しい問題と、info22さんのおかげで、
（2）までは解答できましたこと、お礼が言いたくて、
しばらくの間、載せておきます。
本当にありがとうございます。

ネチケット的に許されるかわからないのですが、
もうしばらくいたしましたら、新規に質問してみようかと思います。
（3）は方針がまだ立ちませんので。

aは実数の定数とするとき、
ｆ（ｘ）＝（1－logx)/ｘ＾2、ｇ（ｘ）＝ｘ＋（alogｘ）/ｘ
（ただし、limｘ→∞logｘ/ｘ＝0は用いてよい）
（1）ｆ（ｘ）の増減を調べて、グラフをかけ。
（2）ｇ（ｘ）が極大値、極小値をもつためのaの条件を求めよ。
（3）（2）のとき、方程式g（ｘ）＝0の実数解の個数を求めよ。

補足

回答ありがとうございます。
計算間違っていました。すみません。

やり直したところ、
g'(x)=1-(a/x^2)+((1-log(x))/x^2)=(x^2+1-a-log(x))/x^2
分子をh(ｘ)＝x＾2ーlogx＋1とおいて、改めて増減表をかき、
Y＝aとの交点で(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)の場合分けをして、求めました。
結局答えは（Ｃ）a>(3+log(2))/2ですね。

（3）なのですが、a>(3+log(2))/2において、
方程式g（ｘ）＝0の実数解の個数を求めるわけですが、
Ｙ＝a（a>(3+log(2))/2）と残りL（x）＝ーx＾2/logxとにわけて、
L（x）のグラフをかいて、
Ｙ＝a（a>(3+log(2))/2）との交点の個数を求める
のでよいのでしょうか？
L（x）のグラフの値がすべて負になった？ので、
明らかに間違いだと思うのですが、他にやり方が思いつかないのです。
勉強不足ですが、アドバイスお願いいたします。