cos(wt)のフーリエ変換について

質問

g(t)=cos(wt)
をフーリエ変換したいのですが、
Ｆ[{exp(jwt)+exp(-jwt)}/2]
=Ｆ[exp(jwt)]/2+Ｆ[exp(-jwt)]/2

まではわかったのですが、この後どう進めればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問の回答

>=(1/2)δ(f0-f)+(1/2)δ(f0+f)
>で合ってますでしょうか？

間違いではないけど普通は
=(1/2)δ(f-f0)+(1/2)δ(f-f0)

なお、fは周波数を表す変数、f0は信号の周波数で定数
フーリエ積分で使うδ関数の定義ではδ(f)は偶関数で
δ(-f)=δ(f)です。

>∫[-∞,∞]exp(j2πft)=δ(f)
F(f)=δ(f)…(B) の時、
フーリエ逆変換の定義式から
f(t)=∫[-∞,∞]F(f)e^(j2πft)df
=∫[-∞,∞]δ(f)e^(j2πft)df
　　=e^(j2π0t)=1 …(B)
このf(t)のフーリエ変換の定義式から
F(f)=∫[-∞,∞]f(t)e^(-j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt ((B)を代入)
（A)からF(f)=δ(f)なので
　∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt =δ(f)
この左辺でt=-t'と置換すると
　左辺=∫[-∞,∞] e^(j2πft')dt'=δ(-f)
が出てきます。
　この式で -f=f'と置換し、f',t'を改めてf,tと書くと
　左辺=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt=δ(f)
が出てきます。
以上から
δ(f)=δ(-f)=∫[-∞,∞] e^(j2πft)dt
=∫[-∞,∞] e^(-j2πft)dt
という関係があることが分かります。

お礼

わかりやすく教えて頂きありがとうございました！
すごく参考になりました！

回答No.2

info22_

> 1/2∫exp(jwt)dt+1/2∫exp(-jwt)dt
> =1/2∫exp(jwt)dt+1/2∫exp(-jwt)dt
間違い。wを区別せず混用している。

フーリエ変換の定義式の中のωとg(t)の式のwは別物ですから、g(t)の式の
wをwoと添え字付きにするなどしないと、定義式上のように同じwを使って混乱すると思います。
なので、上の式は定義式を適用したことにはなっていないので、間違い。
wを区別して定義式を適用して計算をしてみてください。

補足

1/2∫exp(jw0t)exp(-jwt)dt+1/2∫exp(-jw0t)exp(-jwt)dt
=1/2∫exp{j(w0-w)t}dt+1/2∫exp{-j(w0+w)t}dt
=1/2∫exp{j2π(f0-f)t}dt+1/2∫exp{-j2π(f0+f)}tdt
=1/2δ(f0-f)+1/2δ(f0+f)

で合ってますでしょうか？
ところで
∫exp(j2πft)=δ(f)
になるのがよくわからないのですが、教えてもらえますでしょうか？

回答No.1

info22_

> この後どう進めればいいのでしょうか？
フーリエ変換の定義式を適用した後、δ(x)関数の定義式を逆に使えば、
δ関数２つの輝腺スペクトルになりませんか？

補足

1/2∫exp(jwt)dt+1/2∫exp(-jwt)dt
=1/2∫exp(jwt)dt+1/2∫exp(-jwt)dt
δ(t)=1で
=1/2∫δ(t)exp(jwt)dt+1/2∫δ(t)exp(-jwt)dt
まで合ってますでしょうか？
この後はどうすればいいのですか？