4次関数の変曲点の求め方について

質問

4次関数の変曲点の求め方について

「次の曲線の凹凸を調べ、その変曲点を求めよ
　　y = x^4-4x^3+6x^2 」

という４次関数の２回微分の練習問題なのですが、解けません・・・

増減表を書くために、まず１回微分で極値を求めたのですが、解の方式を使った結果、xの値がかなりややこしい値になってしまって増減表もろくに書けません。泣

あきらめて、次に２回微分をおこなってxを求めた結果、x=1(２重解)。
ということは変曲点は(1,3)ということだと思って、回答を見たら

「全区間で下に凸,変曲点なし」
とのこと。

全く意味が分かりません。
そして曲線の凹凸を求めるために、自分はいちいち増減表を書かないと求められないんですけど、他に方法はあるのでしょうか。

少しのアドバイスでも良いので回答してくだされば助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

グラフを描くのが困難のようでしたので
のグラフを描いて添付します。

黒線；y=(x^4)-4(x^3)+6x^2=(x^2){(x^2)-4x+6}
y≧0 (x=0のときのみy=0）

青線：y'=4x{(x^2)-3x+3}
x=0でのみy軸と交わる。
　x<0のとき　y'<0　なので yは単調減少、
　x>0のとき y''>0 なので yは単調増加。

赤線: y''=12(x-1)^2
　　x=0(重解)で　y''=0, x≠0で y''>0

x=0（原点O）で　yのグラフはx軸に接する。

x=1(C点) でy''=0, y'=4(B点), y=3(A点)
　A点(1,3)の前後でy''≧0なので
　yのグラフは（わずかであるが）下に凸なので
　A点は変曲点になれない。

お礼

わあ！綺麗なグラフですね！！！
本当にどうもありがとうございます！！

変曲点だけを求める問題でも、どうしてもグラフを書かないと気が済まなかったので、とても助かりました！そして説明もありがとうございます！

数学の先生とかでしょうか・・・？
貴重なお時間頂きありがとうございました！

回答No.1

sanori

こんばんは。

凹凸と変曲点だけを聞かれているので、増減は調べなくてよいです。

ｙ　＝　ｘ^4　－　４Ｘ^3　＋　６ｘ^2

ｙ’＝　４ｘ^3　－　１２ｘ^2　＋　１２ｘ
　＝　４（ｘ^3　－　３ｘ^2　＋　３ｘ）

ｙ’’＝　４（３ｘ^2　－　６ｘ　＋　３）
　＝　１２（ｘ^2　－　２ｘ　＋　１）
　＝　１２（ｘ　－　１）^2

よって、ｘ＝１　だけが（暫定の）変曲点ですが、重解ですので、
凹凸は変曲点の左右で変わりません。
つまり、変曲点がないということです。
ｙ＝ｘ^2　みたいな感じの曲線になります。

・・・で、凹凸はどうなるかというと、
１２（ｘ　－　１）^2
のｘに何を代入してもプラスかゼロになるので、（常に）下に凸です。

お礼

早速の回答どうもありがとうございます！！
こんな風に重解がでたときは「変曲点なし」として良いということですね！
数学が苦手な私にも理解できるくらいに、分かりやすく説明を書いてくださってどうもありがとうございます！！

今からもう１度数?の基本のグラフの原理について見直しして、重解のときや解が２個ある場合のときはグラフでどうなるか調べてみようと思います＾＾

貴重なお時間をどうもありがとうございました！