黄金分割法とは？最適化にどのように利用されるのか
- 黄金分割法を用いて一変数関数の最小化をしようとしていますが、最小値を与える座標xminが求まりません。
- 黄金分割法は、x座標上の4点を常に保持し、凹型になっている3点の中に次々とxminを追い込んでいく方法です。
- 最適な結果を得るためには、初期状態でxminを囲っていることが重要です。
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黄金分割法
現在、黄金分割法を用いて、一変数関数の最小化をしようとしています。 黄金分割法はx座標上の4点（xa<xb<xc<xd）を常に保持し、凹型になっている3点の中に次々とxminを追い込んでいく方法です。 文献を参考に黄金分割法のプログラムを作成し、二次関数を用いてテストをしたのですが、最小値を与える座標xminが求まりません。 一番離れている2点(xa,xd)がxminを常に囲っている状態ならば、求まると思うのですが、4点の値をトレースしたところ、4点とも、xminに対して片側に寄ってしまい(例えばxmin<xa<xb<xc<xdというような状態)、求まらないようなのです。 黄金分割法は原理的に上記のように最適化が失敗する可能性があると思うのですが、どうなのでしょうか？ 初期状態でxminを囲っていれば、確実に最適化が可能なのでしょうか？
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多分プログラムのどこかに虫が潜んでいるのでしょう。 しかし、ご質問の内容を見るとちょっと理解しにくい部分があるので、簡単に言うと、 ・適当にa,b,c(a<b<c)の区間を設定したときに、 f(a) > f(b) f(c) > f(b) であれば区間a,bに最小点がある 次に、 a-b 又は b-c の間に新しい点 x を用意する。 このとき、a-bとb-cで広い方の区間にx点を用意する。 たとえば b-c の場合は、b-c間に0.38197:0.61803の比率なるようにxを用意する。 f(b)>f(x)であればb-c間に極小があるので、 これにより、新しい区間a',b',c'は、 a'=b b'=x c'=c となり f(b)<f(x)であれば、a-b間に極小があるので、 a'=a b'= a-b間を黄金比率で分割するxを求める c'=b となるわけです。 あとはこの繰り返しです。 区間に複数の極小点がない限り論理的に考えて囲い込めないと言うのは考えられません。
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