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積分について

A(有界集合)を含む長方形Rの取り方によらずに積分可能であることが決まり、また積分値も取り方によらずに一定である。 つまり、 R⊃Aでf(x,y)が積分可能とするとき、ほかの長方形R_1⊃Aをとるとき、R_1でのf(x,y)の積分可能性と∬_(R_1)f(x,y)dxdy=∬_(R)f(x,y)dxdy となることを示したいのですが、わかりません。 回答よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • alice_38
  • ベストアンサー率43% (75/172)
回答No.3

R と R1 を、 R = Σ[k=1…m] S(k), R = Σ[k=1…n] S1(k), S(1) = S1(1) = R∩R1 となるように、 有限個の長方形 S( ), S1( ) に分割する。 その分割に従って積分域を分割してみれば、 f の R 上の積分と R1 上の積分は、どちらも R∩R1 上の積分に等しいことが解る。 R∩R1 以外の部分は、A の外側なので、そこでは f の値が 0 になるから。

その他の回答 (2)

  • alice_38
  • ベストアンサー率43% (75/172)
回答No.2

一般には成り立たないなあ。 f の台が A に含まれる という条件下の話 のように聞こえるのだけれど、 それならほぼ自明で、こんどは、 証明に悩む理由のほうが解らない。

gsb57529
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 説明不足ですみません。 ＞f の台が A に含まれる という条件下の話 まさにそれです!! そのほぼ自明なのですが、きちんと文章化するとどうなるか？ということを書けばいいらしいのですが、それがよくわからなくて…

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.1

　長方形と仰るからにはx,yは実数なのでしょうね。で、fって何です？もしかして、fは複素数z=x+iy から複素数への正則関数だったりします？ 　あるいは、f(x,y)も実数（だとすると明らかに、ご質問の関係は一般には成り立たない。なの）で、しかも f(x,y)の定義域をΩと書くとΩ⊃Aであり、 Ωに対するAの補集合をCとするとき、 B = {(x,y) | (x,y)∈C かつ f(x,y)≠0} で定義されるBの測度が0である（あるいは、いっそBは空集合だとか） という条件下での話をなさってる？

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