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正四面体と球　（東京大）

（問題） 正四角錐Ｖに対し、その底面上に中心を持ち、そのすべての辺と接する球がある。底面の１辺の長さをａとするとき、Ｖの高さを求めよ。　（東京大） （解） Ｖの頂点をＰ、底面をＡＢＣＤとし、対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとする。 球の中心は底面上にあり、正方形ＡＢＣＤのすべての辺と接するから、球の中心はＯで、半径はａ/2である。 次に、平面ＰＡＣによる切り口を考えると、球が辺ＰＡと接するから 辺ＡＤが球と接する点をＭ、辺ＰＡが球と接する点をＮとすると、△ＡＯＭと△ＡＯＮは合同である。 よって∠ＰＡＯ＝４５° Ｖの高さはＰＯ＝ＡＯ＝（√２/２）ａ これは参考書に載っていた東大の入試問題です。 解けずに回答を見たところ、「Ｖの頂点をＰ～半径はａ/2である。」のところまでは理解できたのですが、それ以降が分かりません。 なぜ球が辺ＰＡと接するから△ＡＯＭと△ＡＯＮは合同？ なぜ∠ＰＡＯ＝４５°？ なぜＶの高さはＰＯ＝ＡＯ＝（√２/２）ａ？ 詳しい解説をお願いします。

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  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.1

△ＡＯＭと△ＡＯＮで、 ＯＭ＝ＯＮ（球の半径） ＡＯ＝ＡＯ ∠ＡＭＯ＝∠ＡＮＯ＝90° よって、直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので合同です。 次に、ＯＭ＝ＡＭ＝a/2なので、△ＡＯＭは直角二等辺三角形 よって、∠ＯＡＭ＝45°＝∠ＯＡＮ(∠ＰＡＯ） そして、∠ＡＯＮ＝45°＝∠ＰＯＮ、しかも∠ＰＮＯ＝90° なので、△ＰＮＯも直角二等辺三角形です。 よって、ＡＯ＝ＰＯ＝（√２/２）ａ　（１：１：√２から）です。

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