x-(x^2/2) < log(1+x) < xの証明(xの変域指定な

質問

x-(x^2/2) < log(1+x) < xの証明(xの変域指定なし。出題ミス？)

log(1+x) < xは問題ないのですが、x-(x^2/2) < log(1+x)がわかりません。

f(x)=log(1+x)-x+(x^2/2)が0<と言えれば良いと思うのですが。
f’(x)=1/(1+x)-1+x
f"(x)=-(1/(1+x)^2)+1
f"'(x)=2(1/(1+x)^3)
f""(x)=-6(1/(1+x)^4)

4回目の微分で-6(1/(1+x)^4)<0と逆を示してしまいます。

お手数をおかけいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

変域指定がないとのことですが、
まず、真数条件：1+ x＞ 0より x＞ -1でなければなりません。
ところが、lim[x→ -1+0]log(1+ x)= -∞となるので、x- x^2/2＜ log(1+ x)とは言えなくなってしまいます。

おそらく、x＞ 0の条件がついているのではないかと思います。

それであれば、1回微分で示すことができます。
f '(x)= x^2/(1+ x)より f '(x)＞ 0 ⇒ f(x)は単調増加
また、f(0)= 0となるので、結果 f(x)＞ 0（x＞ 0）

お礼

変域指定が無いと無理がありますよね？
有難うございます。納得できました。

回答No.2

R_Earl

既に他の回答者の方が答えているので、
質問者さんが誤解している点について書いてみます。

> 4回目の微分で-6(1/(1+x)^4)<0と逆を示してしまいます。

これだけで「逆を示している」と結論を出すことはできません。
f''''(x) < 0で分かるのは、
「f'''(x)が単調減少である」ということだけです。
f'''(x)が負の値をとるかどうかも、f''''(x) < 0という条件だけでは確定しません。
なのでf(x)の正負に関しても、f''''(x) < 0だけでは判断不可能です。

「単調減少な関数は、xの値を大きくするといずれ負の値を取る」
と誤解しがちですが、そうとは限りません。
例えばf(x) = 2^(-x)は単調減少な関数ですが、負の値をとりませんよね。
x → ∞の時、f(x)がある値に収束するよう場合、
「f(x)が単調減少だとしても、f(x)は負の値を取らない」という状況が発生します。

なのでf''''(x) < 0が示せたとしても
「逆の結果が出てきた」と言い切ることはできません。
f'''(x)が単調減少であることを踏まえた上でf'''(x)がどんな値をとるか考え、
さらにそれを元にf''(x)の挙動を考え、
さらにそれを元にf'(x)の挙動を考え、
さらにそれを元にf(x)の挙動を考える必要があります。

お礼

有難うございます。勉強になりました。