DACとサンプリング定理

質問

不勉強なのでしょうが、サンプリング定理でいわゆるサンプリング周波数の半分までの原信号を復元できる、というのが数学的に証明されているのはよいのですが、
現実のＤＡＣにおいて、それがどのように実装されているのかが良く分かりません。

単にデジタル化された数値の電圧を次々に出力しているだけのように思えます。（よくある階段状の出力波のイメージのやつです。）
また原信号の復元イメージを描いた図などでは、ある時点のサンプリングされた点の波形を再現するには、次の（未来の）点、さらに次の（未来の）点・・と、寄与は少なくなるものの、完全に原信号を再現するには、すべての量子化された点の情報が必要になるように思えます。

結局、サンプリング定理によれば原信号を再現できるが、現実には再現していないのではないか、と思えてなりません。

分かりやすい説明（イメージ的なものでもよいです）をしていただけると嬉しいです。

回答No.14

caudchy

No.13です。お役に立てず申し訳ありません。
学部で解析をサボったので, 正確なことを確信を持って書けなくて……
それでも若干補足させてください。

1. サンプリング定理には仮定があります。
たとえば,
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%9C%AC%E5%8C%96%E5%AE%9A%E7%90%86
をご覧ください。
「標本化定理とは、ある関数f(x)をフーリエ変換した関数F(s)の成分（スペクトル）が、| s | ≧ W の範囲でF(s)=0である……」とあり, このフーリエ変換が成り立つための仮定がサンプリング定理にも必要です。
フーリエ変換自体をきちんと学んでいないので不正確な説明となりますが, t = 0 の近傍でしか成り立たないと思われます。この近傍だけでは音にならないので, 一定区間で同じ音が続くよう関数を拡張する, といったことになると思います。
「標本化定理の証明」の12～13行目で, 入力信号を正弦波 (同じ音が続く) としていますが, これは本質的なものと思われます。
尚, 同証明で「θα」を用いていることから私の iii) の仮定は誤りかもしれませんが, グラフで考えると定理は成り立たなさそうなので, これもフーリエ変換時の仮定ではないかと思います。

2. 記録時と再生時に同一の理想的なローパスフィルターを用いれば, 定理を満たす限り, 両信号は一致します。
定理より, 「s = 2Wに相当する周期より小さい周期をもつ標本化関数で標本化したときに得られる関数は、そのスペクトルのうち | s | < Wが原関数のスペクトルに一致」し, ローパスフィルターによる信号はこの一致するスペクトルのみから構成されるので, 当然の結果となります。(「理想的な」とは, 周波数 F 以上をすべてカットし, 周波数 F 未満の部分には全く影響を及ぼさない, という意味で用いました。)

3. 定理では, t = T のときと t = T + α のときに同時に (同じサンプリングデーターで両方のときに) 入力信号を再現できるとは保証していません。
α = 1/f で考えると, 多分無理でしょう。

オーディオ業界が言ってきた（今も言っている）ことは, ある仮定の元でのみ正しいが, 実際の音楽信号で厳密に成り立つことは殆ど無い, というところでしょうか。
但し, 結構うまく近似できるているものだな, とは思っています。

あと, オーバーサンプリングは無理のないアナログフィルターを用いるのに有効でしょうが, 場合によっては音が変りそうにも思います。決して否定するつもりはありませんが, 過度の期待はできないと思います。