DACとサンプリング定理

質問

不勉強なのでしょうが、サンプリング定理でいわゆるサンプリング周波数の半分までの原信号を復元できる、というのが数学的に証明されているのはよいのですが、
現実のＤＡＣにおいて、それがどのように実装されているのかが良く分かりません。

単にデジタル化された数値の電圧を次々に出力しているだけのように思えます。（よくある階段状の出力波のイメージのやつです。）
また原信号の復元イメージを描いた図などでは、ある時点のサンプリングされた点の波形を再現するには、次の（未来の）点、さらに次の（未来の）点・・と、寄与は少なくなるものの、完全に原信号を再現するには、すべての量子化された点の情報が必要になるように思えます。

結局、サンプリング定理によれば原信号を再現できるが、現実には再現していないのではないか、と思えてなりません。

分かりやすい説明（イメージ的なものでもよいです）をしていただけると嬉しいです。

回答No.13

caudchy

はじめまして。
定理自体もよく知らない素人ですが, 私の感じていることと関連することを疑問に思われているように思いますので, 横からお邪魔します。

フーリエ変換は極限値において成り立ち, フーリエ変換も定理も各点(各瞬間)ごとの記述であることを踏まえた上, 次の3点を考慮すると先が見えてくるのではないでしょうか。

i) 定理は t=0 におけるものと思われますので, 同じ音がずっと続くと仮定すべきものでしょう。

ii) No.6さんから引用させていただきますが, 「時間の関数ｆ（ｘ）が,帯域幅０－Wサイクル/秒、の間に限定されているのなら、ｆ（ｔ）、は次の結果に示す方法で、時間軸上で1/2W秒ずつの間隔の離散的な標本点の系列における縦座標の値を与えれば完全に決る。」とのことですから, 逆に言うと t 秒ごとに時刻 0 における 2/t サイクル/秒の成分が決定する, つまり聞こえてくることになります。(つまり音を認識できるのは事後となります。)

iii) 上記引用部と http://www.yobology.info/text/sampling_theorem/sampling_theorem.htm
の記述から, 定理は a sin( bt + c ) という各成分において c = 0 ± n/2 π であると仮定しているようです。つまり t=0 のとき 極値をとるか変曲点となっているかいずれかです。
ということは, サンプリング周波数の 1/4 の周波数成分は, サンプリングの度, クロックのタイミングにより異なった振幅で記録されることになるのではないでしょうか。

以上, 不正確かつわかりにくい文章ですが, 日頃感じていることを書かせていただきました。もし参考になったなら幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、大変もうしわけないのですが、理解できませんでした。

定理とはサンプリング定理を指していると思いますが、サンプリング定理には書かれているような仮定はありません。（また私はサンプリング定理を疑っているわけではありません。）

書かれている「サンプリングの度, クロックのタイミングにより異なった振幅で記録されることになる」というのは正しいです。しかしサンプリング定理に従えば、それらから復元される信号はすべて同じになります。

オーディオ業界が言ってきた（今も言っている）”階段状の波形にローパスフィルタという帯域制限を掛ければ元の波形が再現される”なんていうのは大嘘なんです。サンプリング定理を理解せずにそれっぽいことをやってみたら、なんとなく正しそうな音が聞こえたって程度です。アップサンプリングなしのローパスフィルタなしのDACでもそれっぽい音が聞こえます。こちらのほうが音がよいなどという人までいます。帯域制限どこいった？っていう話です。

調べてみるとCHORDというメーカーがこのあたりをちゃんと考えてやっているようです。アップサンプリングも1024倍（１０回ですね）やって、これだけで十分になめらかな波形が得られそうです。その時のFIRフィルタ（なのかな？）の次数も1024とか4096とかと、他のが256程度の次数と比べて非常に大きく、その分サンプリング定理に非常に近い動作が期待できるものになっていると考えられます。（とはいってもCDでさえ１秒に44100のデータがあるので、4000でも0.01秒の値しか参照していないことになります。これで十分かどうかは私には分かりません。）
しかしもっと明らかな問題は、CHORDのDACは高すぎて私には手が出ないということですｗ

補足

0.01秒→0.1秒の間違えですね。前後0.05秒と書こうか迷って、間違えました。