置換群(Symmetric Group)と対称群(Permutatio

質問

置換群(Symmetric Group)と対称群(Permutation Group)の違いは何でしょうか？

Wikipediaの置換群の説明(日本語)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4
『岩波数学事典』 日本数学会、岩波書店、2007年、第4版。ISBN 978-4000803090
に掲載されているようです。

Wikipediaの置換群(Symmetric Group)の説明(英語)
http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group

Wikipediaの対称群(Permutation Group)の説明(英語)
http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group

英語版の自身の要約も必要でしょうが(Bruhat orderというキーワードがミソみたいですね)、個人的な考えも必要だと思うので、TEXで生成した画像を添付しておきます。箇条書きの１．、２．が個人的に考えられる”対称群”だと思っていますが、いかがでしょうか。

回答No.3

rinkun · ベストアンサー

たとえば3次対称群S3を挙げてみましょう。
3数の並び(123)がどのように変換されるかでS3の元を表してみると、S3の元は以下の6つです。
S3={(123),(213),(231),(132),(312),(321)}
ここで(123)は恒等変換で単位元になります。
さて、このS3の部分集合で群になるものを挙げると
{(123)} =E これは単位元だけからなる自明な部分群
{(123),(213)}
{(123),(132)}
{(123),(321)}
{(123),(231),(312)} =A3 これは3次交代群
{(123),(213),(231),(132),(312),(321)} = S3 自分自身も部分群
上の6つが3次対称群の部分群で、どれも置換群ということになります。
上記以外のS3の部分集合は部分群にはならず、それらは単なる置換の集合であって置換群とは言えません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>上記以外のS3の部分集合は部分群にはならず

やはり自分の考えていたものは粗雑な考えであったようです。

I_n = { i ∈ ? | 1? i ? n} , Sym(I_n) := S_n ( n 次対称群) とすると、
S_3 = { (123) , (213) , (231) , (132) , (312) , (321) } であって、
1_(S_3) = Id_(S_3) = (123) , 一般に、1_(S_n) = Id_(S_n) = (123…n)
ここで、1_(S_n) を S_n の単位元とする。

群となる物は、
1. { (123) } (123) ? (123) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
2. { (123) , (213) } (213) ? (213) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
3. { (123) , (132) } (132) ? (132) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
4. { (123) , (321) } (321) ? (321) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
5. A_3 = { (123) , (231) , (312) }
(231) ? (312) = (123) 逆元 (312) が唯１つ決まってる！
(312) ? (231) = (123) 逆元 (231) が唯１つ決まってる！
(231) ? (231) = (312) うまく分散(閉包律)！
(312) ? (312) = (231) うまく分散(閉包律)！
6. S_3 = { (123) , (213) , (231) , (132) , (312) , (321) }
逆元 (123) , (213) , (312) , (132) , (231) , (321) 唯１つずつ対応！

置換の写像合成の２項演算 ? の結合律も、証明する必要があると思いますが、ここではややこしくなるので割愛させてもらいます(証明法の「ヒント」があれば(なるべく直の答えではなく)教えてください)。
尚、{ (123) , (231) } ( (231) ? (231) = (312) ) 、 { (123) , (312) } ( (312) ? (312) = (231) )
は、閉包律を満たさず、任意元に逆元が存在しない、という訳ですね。

上記を見ていると、「置換群」というものは、どうやら集合族の様ですね。纏めてみると、

n 次対称群 Sym(I_n) := S_n に対し、n 次置換群 $\mathscr{S}$(I_n) := $\mathscr{S}$_n とすると、３次置換群は、

$\mathscr{S}$_3 = { { (123) } , { (123) , (213) } , { (123) , (132) } , { (123) , (321) } , A_3 , S_3 }

となる。一般のn 次置換群 $\mathscr{S}$_n は、

$\mathscr{S}$_n = { S(I_n)⊆S_n | S(I_n) = (S(I_n) , ? , Id_(I_n))は群 }

となり、X-置換群 $\mathscr{S}$(X) は、

$\mathscr{S}$(X) = { S(X)⊆S_n | S(X) = (S(X) , ? , Id_(X))は群 }

となり、一意特定された群ではない、と言うのを集合族の概念で表してみましたが、いかがでしょうか。

補足

入力した一部が表示できていない事に気づき、修正した物を掲示します。

I_n = { i ∈ \mathbb{N} | 1? i ? n} , Sym(I_n) := S_n ( n 次対称群) とすると、
S_3 = { (123) , (213) , (231) , (132) , (312) , (321) } であって、
1_(S_3) = Id_(S_3) = (123) , 一般に、1_(S_n) = Id_(S_n) = (123…n) ここで、1_(S_n) を S_n の単位元とする。

群となる物は、
1. { (123) } (123)○(123) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
2. { (123) , (213) } (213)○(213) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
3. { (123) , (132) } (132)○(132) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
4. { (123) , (321) } (321)○(321) = (123) 自らが逆元！唯１つ！
5. A_3 = { (123) , (231) , (312) }
(231)○(312) = (123) 逆元 (312) が唯１つ決まってる！
(312)○(231) = (123) 逆元 (231) が唯１つ決まってる！
(231)○(231) = (312) うまく分散(閉包律)！
(312)○(312) = (231) うまく分散(閉包律)！
6. S_3 = { (123) , (213) , (231) , (132) , (312) , (321) }
逆元 (123) , (213) , (312) , (132) , (231) , (321) 唯１つずつ対応！

置換の写像合成の２項演算○の結合律も、証明する必要があると思いますが、ここではややこしくなるので
割愛させてもらいます(証明法の「ヒント」があれば(なるべく直の答えではなく)教えてください)。
尚、{ (123) , (231) } ( (231)○(231) = (312) ) 、 { (123) , (312) } ( (312)○(312) = (231) )
は、閉包律を満たさず、任意元に逆元が存在しない、という訳ですね。

上記を見ていると、「置換群」というものは、どうやら集合族の様ですね。纏めてみると、

n 次対称群 Sym(I_n) := S_n に対し、n 次置換群 \mathscr{S}(I_n) := \mathscr{S}_n とすると、３次置換群は、

\mathscr{S}_3 = { { (123) } , { (123) , (213) } , { (123) , (132) } , { (123) , (321) } , A_3 , S_3 }

となる。一般のn 次置換群 \mathscr{S}_n は、

\mathscr{S}_n = { S(I_n)⊆S_n | S(I_n) = (S(I_n) ,○, Id_(I_n))は群 }

となり、X-置換群 \mathscr{S}(X) は、

\mathscr{S}(X) = { S(X)⊆S_n | S(X) = (S(X) ,○, Id_(X))は群 }

となります。

申し訳ありません。

回答No.4

alice_38

「置換群」の語義には揺らぎがあり、
対称群の部分群を総称する場合と
対称群そのものを指す場合とがある。

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かに色々なサイトを巡っていると、文脈的に、「置換群=対称群」と言う扱いをしているところも少なくないと思います。

あくまでも、「数学はその概念が大切であって、記号で遊ぶことがあってはならない」と、高校時代の数学の先生の寸鉄刺さる言葉を思い出します。

けれども、記号に着目し、その概念の奥底まで突き詰める、という面白さも、また良し。と思います(何故なら、それが間違いであった場合、明らかになるからです)。

要するに、どっちとも良し！と言う事です。

回答No.2

rinkun

> 置換群は、対称群Sym(X)の、任意の部分集合、つまり、置換群をS(X)と表すと、
> ∀A⊆Sym(X)⇒A=S(X)
これは色々と間違っていると思いますよ。

まず、置換群は対称群の部分集合の内で群をなすものの総称です。
すなわち対称群の部分集合は群をなすとき置換群と呼ばれるのであって群にならない部分集合は置換群ではありません。
また集合Xを指定したとき、対称群Sym(X)はX上の置換全てのなす群として特定される一つの群ですが、X上の置換群はSym(X)の部分群という一つの性質であって一意特定された群ではありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>対称群の部分集合は群をなすとき置換群と呼ばれる
個人的に思っていたのは、「対称群Sym(X)は、群として定義されている」のならば、その部分集合は「すべて」群をなす、と思っていました。どうやらこのような粗雑な考えは危険なようです。そういえば、群の逆元の定義(単位元もでしょうか？)でも、「任意の群の元に対し、逆元は、それぞれ唯１つ定まるが、逆元は、”全部で高々１つでは決して無く、違う逆元が複数存在する事がある”」を、｢高々１つ｣と誤解していたのを思い出します。この事に対しては、具体的な例を挙げてもらい、「ある群の任意の部分集合は群をなす」という誤解を解いていくしかなさそうです。具体的な事例をお願いします。

>X上の置換群はSym(X)の部分群という一つの性質であって一意特定された群ではありません
おそらく、自分は「一意特定された群」と、そうでは無い群の違いが判っていないと思われます。恐らく、置換群を、S(X)の様な、特定の記号で表す事の出来ない概念である、と、薄々考えたりしています。自分なりの考えを再度以下に纏める事しか自分には出来ないので、少しずつ間違いを直して生きたいと思います(置換群を懲りずにS(X)などと表していますが、ご容赦願います)。

対称群Sym(X)=(Sym(X),σ,Id_X)は、群をなす。置換群をS(X)と表すと、
S(X)⊆Sym(X)∧(S(X),σ,Id_X)は群
である。

補足

申し訳ありません。
(Sym(X),σ,Id_X) , (S(X),σ,Id_X)のそれぞれ２項目は、置換のσでは無く、写像合成の２項演算○であり、それぞれ、
(Sym(X),○,Id_X) , (S(X),○,Id_X)
です。大変失礼しました。

回答No.1

rinkun

まず日本語訳が逆のようですが。
> 対称群（たいしょうぐん、symmetric group）
> 置換群（ちかんぐん、permutation group）
# http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4

一般にn次対称群はn要素の置換全体からなる群で、置換群はどれかの対称群の部分群です。

あと個人サイトへのリンクを質問に張るのは良くないので、画像なら質問に添付しましょう。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4

お礼

ご回答ありがとうございます。

>個人サイトへのリンク
実は、このリンクは、自分のブログ（R-E-T=ReturnTercel）なのですが、ルール通り、画像添付で行ったほうが良さそうですね。画像添付も試みたのですが（JPGで）、どうやらエラーになってしまったので…

>日本語訳が逆
確かに逆でした。訂正の意味で復唱を。
対称群（Symmetric Group）、置換群（Permutation Group）

>置換群はどれかの対称群の部分群
置換群は、対称群Sym(X)の、任意の部分集合、つまり、置換群をS(X)と表すと、
∀A⊆Sym(X)⇒A=S(X)
という感じでよろしいでしょうか。