偶関数のフーリエ変換

質問

なぜ偶関数の場合はフーリエ変換すると虚数成分がなくなってしまう（複素数計算を必要としない）のですか？
詳しく解説してあるサイトなんかも教えてもらえるとうれしいです。

回答No.2

F0ur1er · ベストアンサー

こんにちわ。これはまず、f∈L^1(R^n)に対して、
f^{^}(ξ)=∫_{R^n} f(x)e^{-2πixξ} dx
とフーリエ変換が定義されます。
ここでは便宜上、f^{^}をｆのフーリエ変換とします。
(普通はｆの上に＾が付きます。さらにL^1(R^n)はR^n上可積分関数の空間とします。)
いま、ｆが偶関数であることから
f(x)=f(-x)
が成り立ちます。そこで、
f^{^}(ξ)
=∫_{R^n} f(x)e^{-2πixξ} dx
=∫{0→∞} f(x)e^{-2πixξ} dx+∫{-∞→0} f(x)e^{-2πixξ} dx
=∫{0→∞} f(x)e^{-2πixξ} dx+∫{∞→0} f(-x)e^{-2πi(-x)ξ} (-dx)
(∵x=-xと置いて変数変換します。)
=∫{0→∞} f(x)*[e^{-2πixξ}+e^{2πixξ}] dx
(∵ｆが偶関数だからまとめられる。)
=2∫{0→∞} f(x)*cos(2πixξ) dx
(∵e^{±2πixξ}=cos(2πixξ)±i*sin(2πixξ))

以上から、虚数成分の計算は必要ないことが分かります。
またｆが奇関数なら実数成分の計算が必要ありません。
それでは頑張って下さい。

回答No.5

nubou

Ｘ（ｆ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｊ・２・π・ｆ・ｔ）

お礼

皆さんこんなに回答ありがとうございました。
お礼の言葉をひとつにしてしまって申し訳ありませんが、大変勉強させていただきました。また何かありましたら質問させていただきますが、そのときはよろしくお願いします。

回答No.4

nubou

間違いました

Ｎｏ．２の回答でいいのですが
関数を科積分関数に限定すると
当然フーリエ変換できないといけないｃｏｓ（ω０・ｔ）のフーリエ変換ができず工学では利用できないので超関数で考えましょう
ｃｏｓ（ω０・ｔ）がフーリエ積分できないと振幅変調の理論が説明しにくいのです
ｃｏｓ（２・π・ｆ０・ｔ）のフーリエ変換結果は
（δ（ｆ－ｆ０）＋δ（ｆ＋ｆ０））／２です
ただし
Ｘ（ｆ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－２・π・ｆ・ｔ）
の定義を使いました

回答No.3

nubou

Ｎｏ．２の回答でいいのですが
関数を科積分関数に限定すると
当然フーリエ変換できないといけないｃｏｓ（ω・ｔ）のフーリエ変換ができず工学では利用できないので超関数で考えましょう
ｃｏｓ（ω・ｔ）がフーリエ積分できないと振幅変調の理論が説明しにくいのです
ｃｏｓ（２・π・ｆ・ｔ）のフーリエ変換結果はδ（ｔ）です
ただし
Ｘ（ｆ）≡∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅｘｐ（－２・π・ｆ・ｔ）
の定義を使いました

回答No.1

oshiete_goo

雑な言い方で良ければ
e^iθ＝cosθ＋i・sinθ
より，
虚部は奇関数なので，（e^－iθの時も同様）
（元の）偶関数×奇関数を積分すると対称性から消えるからでは？

なお，θ＝k・x　などですが，xの積分でもkの積分でも事情は同じですね．