鈍角三角形について

質問

いつも有難うございますｍ(＿＿)ｍ

すみません、以前と同じような質問をさせてくださいっ＞＜；

センター試験の問題で、悩んでいます；
「
3辺の長さがx,x+1,x+2である三角形がある。

この三角形が鈍角三角形であるとき、xの値の範囲は？
」
との問題があって、
解答は、
「
三角形の成立条件により、
x+(x+1)>x+2だから
x>1　・・・(1)

最大辺に対する各の大きさをθとすると、
cosθ<0
なので、
これにより、-1<x<3。

以上より、
1<x<3
」
とあるのですが、

私は、今回もまた
-1<cosθ<0
より、
1<x<3
としてしまいました。

以前、似たような問題で教えてもらった方からは、
cosθ=-1が成立することは有り得ないから、
-1<cosθ<0の左半分の「-1<cosθ」という条件を勝手につけちゃダメと教わりました。

もしcosθ=-1が成立するとすると、三角形が成立しないので
cosθ<0だけでいいのなら、
何で、三角形を成立させるための条件(1)が必要なのでしょうか？

すみません、よく分からなくなってきました(T_T)

あっ、質問を変えて・・・

この問題集のポイントとして、
最大角Ｃが鈍角三角形のときの条件は
「cosＣ＜０」となっているのですが、
どうして「－１＜cosＣ＜０」じゃないのでしょうか？

「三角形」という文字があるので、cosθ≠-1は
当然のことと考えるのでしょうか？？
それなら、どうして今回の問題では
条件(1)が必要なんでしょう・・・

どなたか、助けてください(>_<。)HelpMe!!

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

＞鈍角三角形ということは、鈍角「三角形」ということですので、
逆に（というのか微妙なところですが）、
鈍角三角形は、「鈍角」である前に「三角形」でなければならない。
と言えばどうですか？

「鈍角三角形である」と言おうとすれば、まず三角形になっていないと話が始りませんよね。
ということを先の回答でも表現しているつもりです。＾＾；

そこで、#1さんの力を借りましょう。（間違いとは思わなかったのですが）
＞x = 0.5の三角形(つまり3辺の長さが0.5, 1.5, 2.5である三角形)は作図できますか？
これは三角形ができません。（0.5+ 1.5＜ 2.5となってしまう。）
「cosθ＜ 0である」ことを考える以前の問題になってしまいます。

お礼

何度もすみませんｍ(＿＿)ｍ

＞鈍角三角形は、「鈍角」である前に「三角形」でなければならない。
＞と言えばどうですか？

分かりました！！

う～んっ、ようやくスッキリ出来ました＞＜；

何度も有難うございました♪サンキュッ (v^-^v)♪

回答No.4

R_Earl

ANo.1です。
私の回答は誤りでした。
申し訳ございません。

お礼

いえいえ、とんでもないです！

ご丁寧にすみませんっｍ(＿＿)ｍ

回答No.3

Mr_Holland

＞この問題集のポイントとして、
＞最大角Ｃが鈍角三角形のときの条件は
＞「cosＣ＜０」となっているのですが、
＞どうして「－１＜cosＣ＜０」じゃないのでしょうか？

　それは「－１＜cosＣ」の条件と三角不等式「ａ＋ｂ＞ｃ」の条件が同値だからです。
　「－１＜cosＣ」に余弦定理を適用して不等式を解いてもらえば分かると思いますが、ａ，ｂ，ｃ＞０という条件の下では、

　　「－１＜cosＣ」　⇒　「ａ＋ｂ＞ｃ」

が得られると思います。
　（ａ，ｂ，ｃ＞０の条件があれば、逆も真です。）

　そのため、三角不等式「ａ＋ｂ＞ｃ」を使うのであれば「－１＜cosＣ」は不要であり、「－１＜cosＣ」を使うのであれば三角不等式「ａ＋ｂ＞ｃ」は不要になります。
　つまり、どちらか一方だけを使えばよいので、問題集のような「cosＣ＜０」という記述になっているのです。

　ちなみに、＃２さんの図式を使わせていただくと、

＞「鈍角三角形である」→「三角形である」＆「cosθ＜ 0」
　　　　　　　　　　　→「三角不等式が成立」＆「-1＜ cosθ」＆「cosθ＜ 0」

となりますが、「三角不等式が成立」と「-1＜ cosθ」が全く同じ条件になっているため、どちらか一方を使えばよいということになります。

回答No.2

naniwacchi

＞もしcosθ=-1が成立するとすると、三角形が成立しないので
＞cosθ<0だけでいいのなら、
＞何で、三角形を成立させるための条件(1)が必要なのでしょうか？

鈍角であれ、鋭角であれ、三角形ができていることが、まず条件として必要です。
これが「三角不等式」と呼ばれる「2辺の和は他の 1辺よりも長い」という条件になります。

次に、「θが三角形の 1つの角であれば」、-1＜ cosθは自明です。
質問者さんが書かれているとおりで、0度＜θ＜ 180度であるからです。

こう書いていくと、ややこしくなってきますね。
整理しましょう。
「三角形である」→「三角不等式が成り立つ」は言えます。
また、「三角形である」→「-1＜ cosθである」も言えます。

ただし、「三角形である」→「cosθ＜ 0である（鈍角三角形である）」は言えません。
（鋭角三角形である場合も当然あり得るので。）

つまり、
「鈍角三角形である」→「三角形である」＆「cosθ＜ 0である」
ということで、2つの条件が必要となります。

やはり、ややこしいですか？

お礼

有難うございます♪

でも・・・・混乱ちゅうです(T_T)

＞「鈍角三角形である」→「三角形である」＆「cosθ＜ 0である」
＞ということで、2つの条件が必要となります。

↓

鈍角三角形ということは、鈍角「三角形」ということですので、
「三角形である条件」は含まれているということで、
「鈍角三角形である」→「cosθ＜ 0である」
と考えてしまいます・・・＞＜；

これじゃダメですよね；

もっと、考えてみますね＞＜；

回答No.1

R_Earl

> 以前、似たような問題で教えてもらった方からは、
> cosθ=-1が成立することは有り得ないから、
> -1<cosθ<0の左半分の「-1<cosθ」という条件を勝手につけちゃダメと教わりました。

-1 < cosθ < 0としても問題ありません。
ただ、-1 < cosθ < 0だけではこの問題は解けないだけです。

> もしcosθ=-1が成立するとすると、三角形が成立しないので
> cosθ<0だけでいいのなら、

cosθ < 0だけでは、今回の問題は解けません。
「-1 < cosθ < 0」を使って解く場合も、「cosθ < 0」を使って解く場合も、
最終的に条件(1)を併用することになります。

> 何で、三角形を成立させるための条件(1)が必要なのでしょうか？

問題文には「3辺の長さがx,x+1,x+2である三角形がある。」とありますが、
x = 0.5の三角形(つまり3辺の長さが0.5, 1.5, 2.5である三角形)は作図できますか？

「3辺の長さがx,x+1,x+2である三角形」とありますが、
全ての実数xに対して三角形ができるわけではないんです。
xの値によっては三角形が出来ない場合があります。
なので三角形になるための条件が必要なんです。