α＋β＋γを求める問題

質問

加法定理の問題です。わからないので教えてください。

0=<α=<90°、0=<β=<90°、0=<γ=<90°でtanα＝２、tanβ=５、tanγ＝８とする。つぎの値を求めよ。

（１）・・・
（２）tan(α＋β＋γ)
（３）α＋β＋γ

とあり、それぞれの問題はその答えを使って問題を解いていきます。（３）で悩んでいます。

（２）の答えは、１です。
tanθ＝１
θ＝４５°、２２５°ということがわかりました。α＋β＋γも同じ度ですよね？

解答は、２２５°

解説では、２＝tanα<tanβ<tanγから、
４５°<α<９０°、４５°<β<９０°、４５°<γ<９０°
よって　１３５°＜α＋β＋γ<２７０°
ゆえに（２）からα＋β＋γ＝１８０°＋４５°＝２２５°

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

＃１です．

でも，なぜ
＞tanα＝２＞tan45°＝１
から，α，β，γはすべて鋭角でも，
α＋β＋γ＞45°（本当はさらに３×45°よりも大）
に気づかないといけないわけです．

という話になるのでしょう．

それは，先に「犯人はただ一人」という結論があるからなのです．
＞=<α=<90°、0=<β=<90°、0=<γ=<90°でtanα＝２、tanβ=５、tanγ＝８とする。

これを見た段階で，α，β，γは第１象限（０°＜θ＜90°）であることは分かり，それぞれただ１つの角α，β，γが決まります．
すると，α＋β＋γもただ１つであることは最初から見えているわけです．

そうすると，２人以上容疑者が出たら，どちらかはシロで一方のみがクロですから，不適である方を排除する理由（言い訳）を探すことになるわけで，
解説の
＞解説では、２＝tanα<tanβ<tanγから、
４５°<α<９０°、４５°<β<９０°、４５°<γ<９０°
よって　１３５°＜α＋β＋γ<２７０°

これは，単なる必要条件で，シロの方（45°の方）を捨てるうまい口実が見つかればそれでよいわけです．

だから，役に立つ限りの一番甘い制限としては
＃１の
tanα＝２＞tan45°＝１ ⇒α＞45°
β≧０，γ≧０より
α＋β＋γ＞45°
でも間に合うし，

もっと厳しい評価をしたければ
0≦θ＜90°で　tanθは単調増加より
tan60°＝√3＜２＝tanα<tanβ<tanγから
60°＜α＜β＜γ＜90°
から　180°＜α＋β＋γ＜270°
とやってもよいわけです（今の目的に対してはかなりムダですが）．

この問題では最初に信念ありき．「犯人はただ一人」

でも一般には２つ以上解がある問題もありますので，よく状況を見てくださいね．

お礼

再び回答ありがとうございました。毎度、助かります。犯人見つけ作戦、いまでも意識するようになりました。これからもその作戦使っていきます。

回答No.3

mmky

回答は出ていますので参考程度に

0=<α=<90°、0=<β=<90°、0=<γ=<90°でtanα＝２、
tanβ=５、tanγ＝８とする。つぎの値を求めよ。
（３）α＋β＋γ
記号にとらわれてしまうんですよね。たまには電卓を使って直接やってみるのもいいんですね。
tan＾-1(２)=α=63.435
tan-1(５)=Β=78.69
tan-1(８)=γ=82.875
α＋β＋γ=225
tan(225)=1
ということで２２５は自明になりますね。

お礼

うまい。。そういう考え方もあるのですね。いい話のネタになります(▼▼)

回答No.2

noname#24477

どこで悩んで居られるのかわかりません。

みんな第１象限の角です。

tanの値は角が大きいほど大きくなります。

tan４５°＝１ですから　３つとも４５°より大きいことが
わかります。
足して１３５度より大きいことがわかります。
解説の通り　１３５°＜α＋β＋γ<２７０° ですね。

お礼

回答ありがとうございました。言われてみればそのとおりでした。ようやく納得できました。

回答No.1

oshiete_goo

大抵の人が一度は「あれっ」と思うところですね．
経験者語る．

tanα＝２＞tan45°＝１
から，α，β，γはすべて鋭角でも，
α＋β＋γ＞45°（本当はさらに３×45°よりも大）
に気づかないといけないわけです．

解の候補が２つ以上出てきたときは特に

１）どちらも適する
２）一方(ないしは一部)のみ，ある理由で適し，他は不適
３）どれも不適

などのケースがあるので，条件をよく見てみると良いでしょう．

お礼

いつもわかりやすい回答をありがとうございます。そういう考えを改めて知りました。