複素数、極座標

質問

1+i√3=√(1+3)*e^i*tan^(-1)*√3
この式を見ると、a+ib=√(a^2+b^2)*e^i*tan^(-1)*b/aだと思うのですが、
回路の問題で、r-i*1/wc=√(r^2+(1/w*c)^2)*e^-i*tan^(-1)*1/wcrとなっています。
なぜtan(-1)*1/wcrでなく、-i*tan^(-1)*1/wcrとなるのかわかりません。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

a+ibの位相角は　arctan(b/a)
ですが
a-ibの位相角は arctan(-b/a)=-arctan(b/a)
と「a+ib」の場合の位相に「-」をつけた位相に等しくなります。

お分かりでしょうか？

(注)
位相（角）は
θ=arctan(虚部/実部）で定義されます。

お礼

数学の基礎知識が欠けてました。丁寧な説明ありがとうございます。

回答No.2

proto

それは、
　　r-i*1/wc=√(r^2+(1/w*c)^2)*e^-i*tan^(-1)*1/wcr
の場合、左辺の虚部は
　　1/wc
ではなく
　　-1/wc
であるから。

さらにtan^[-1](x)には
　　tan^[-1](-x) = -tan^[-1](x)
という性質がある。

以上を踏まえると、
(式が非常に見づらいので、指数関数をexp(x)と,tan(x)の逆関数をarctan(x)と書かせてくれ)
　　r-i*1/wc = r+i*(-1/wc)
　　　　　　 = (√(r^2+(-1/wc)^2)) * exp(i*arctan(-1/wcr))
　　　　　　 = (√(r^2+(1/wc)^2)) * exp(-i*arctan(1/wcr))
となる。

基本は
　　a+i*b = (√(a^2+b^2)) * exp(i*arctan(b/a))
が全て。
今回の場合も基本に当てはめ丁寧に計算すれば、当然得られる結果です。例外的な事は特にありません。

お礼

数学の基礎知識が欠けてました。丁寧な説明ありがとうございます。

回答No.1

mrabbit

質問欄の式の表記が一部曖昧です。意味が一意になるよう書くと
1+i√3 = √(1+3)*exp{i*arctan√3}
a+ib = √(a^2+b^2)*exp{i*arctan(b/a)}
で良いと思いますが、問題ありませんか？

正しいと思って進めますが、問題の式
r-i*(1/wc)においては、
実部 a=r
虚部 b=-(1/wc)
です。これを上記第２式に代入すれば、指数関数の肩は
i*arctan(b/a)=i*arctan{-1/(wcr)}
=-i*arctan(1/wcr)　（∵ arctan(x)は奇関数）
と得られます。

* 指数関数の肩には、a,bの値に関わらず 'i' がかかる
* bに負号が含まれる
という２点にご注意ください。

お礼

テスト前だったので助かりました。アリガトウございます。