複素数の微分

質問

zは複素数です。
次の方程式を満足するｚを求めよ。
sinz=√2
sinz=-i

w=tanzの逆関数をw=tan^(-1)zで表す。
tan(-1)z=i/2・log((i+z)/(i-z))を証明せよ。

という問題です。解答は
z=π/2+2nπ-iLog(√2±1)
z=2nπ-iLog(√2+1),(2n+1)π-iLog(√2-1)
です。二番目はとりあえず、
z=tan(-1)w=(e^(iw)-e^(-iw))/i(e^(iw)+e^(-iw))
までは変形できたんですが、それからがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

Eulerの定理e^(iz)=cos(z)+i*sin(z)より，三角関数sin(z)やcos(z)はe^(iz)を用いて
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
と表すことができます．（またはそのように解析接続して定義します）また対数関数はz=|z|e^(i*arg(z))より
log(z)=log|z|+i*arg(z)=Log|z|+i*Arg(z)+2nπ　（Log,Argはそれぞれlog,argの主値）
となることにも注意しましょう．

> sinz=√2

sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)=√2
→ e^(2iz)-2√2ie^(iz)-1=0
となるので，e^(iz)の２次方程式とみなして
e^(iz)=√2i±√(-2+1)=i(√2±1)
となります．両辺logをとると，i*(√2±1)は純虚数正軸上の点だから偏角はπ/2より
iz=log(i*(√2±1))=log|i*(√2±1)|+i*arg(i*(√2±1)))=Log(√2±1)+i*(π/2+2nπ)
となるので，
z=(-i)*Log(√2±1)+π/2+2nπ

> sinz=-i

も同様にできるのでやってみましょう．

> w=tanzの逆関数をw=tan^(-1)zで表す。
> tan(-1)z=i/2・log((i+z)/(i-z))

これも最初の問題とほぼ同様にできます．
tan(w)=sin(w)/cos(w)=(-i)*(e^(iw)-e^(-iw))/(e^(iw)+e^(-iw))
となるので，
z=tan(w)=(-i)*(e^(iw)-e^(-iw))/(e^(iw)+e^(-iw))
→ z*(e^(iw)+e^(-iw))=(-i)*(e^(iw)-e^(-iw))
→ (i+z)*e^(iw)-(i-z)*e^(-iw)=0
→ (i+z)*e^(2iw)-(i-z)=0　（←e^(iw)をかける）
→ e^(2iw)=(i-z)/(i+z)
→ 2iw=log((1-z)/(1+z))
→ w=(-i/2)*log((1-z)/(1+z))=(i/2)*log((1+z)/(1-z))
となります．(w=tan^(-1)z)