行列式 １次変換

質問

次の行列で表わされる１次変換によって、右側の直線はどんな図形に移されるか?
(1)
(4 -5)
(-3 6), 2x-y=1

(2)
(3 -1)
(6 2), 2x-y=1

(3)AB,x+y=1

(4)BA,x+y=1

解説には、「まず直線上の点として(1)はA(1,1)B(-1,-3)、(2)はA(1,1)B(2,4)を取る」と書いてあるんですが
何を元にとった点なのですか？理由と詳しい解法お願いします。

回答No.3

mis_take · ベストアンサー

行列
ａ　ｂ
ｃ　ｄ
によって，
・ｘ軸上の点 (1,0) が (a,c) にうつり，
・ｙ軸上の点 (0,1) が (b,d) にうつります。
そして，
・(p,0) は (pa,pc) に，
・(0,q) は (qb,qd) にうつります。

ですから，この問題のように，直線をうつす場合，
・ｘ軸，ｙ軸との交点を求めて，
・それがうつる点を求めて（というかすぐわかるので），
・それを結ぶ直線を求める。
のが常道です。

(1)
2x-y=1 は (1/2,0) と (0,-1) を通る。
それぞれ (2,-3/2) と (5,-6) にうつる。
ゆえに y=(-6+3/2)/(5-2)(x-5)-6=-3/2(x-5)-6=-3/2x+3/2 にうつる

(2)
3x-y=2 は (2/3,0) と (0,2) を通る。
それぞれ (2,4) と (-2,4) にうつる。
ゆえに y=4　にうつる。

もし(2)の行列が
３　１
６　２
だった場合

それぞれ (2,4) と (2,4) にうつる。
直線 3x-y=2 が一点 (2,4) にうつる。

解説のように点を取ったのはなぜでしょうか？
わかりませんが，分数がいやだったのかな？

回答No.2

naniwacchi

#1さんが言われているとおり、2点を選ぶ場合はどこでも構いません。
もう少し、違った見方をすると

直線上の点は、ベクトルの考え方を使うと
（直線上のある一点）＋（直線の方向ベクトル）×（媒介変数）
と表すことができます。

具体的には、直線：2x- y= 1の方向ベクトルは (1,2)となるので、
(1, 1)+ (1, 2)* t= (1+ t, 1+ 2t) （tは実数）…(1式)
と表すことができます。
これに 1次変換の行列をかけることで、変換後の図形の式を得ることができます。
実際、この形で計算する場合には(1式)の左辺のままでおこなう方がやりやすいです。

※以下では、列ベクトル（縦に並べて書く形）で書こうとすると、
ずれたりするので行ベクトルで表現しています。

(1)の問題であれば、
A{ (1, 1) + (1, 2)* t }
= A(1, 1) + A(1, 2)* t
= (-1, 3) + (-6, 9)* t
= (-1- 6t, 3+ 9t)

あとは tを消去して (x, y)の関係式を導く。
または、点(-1, 3)を通る方向ベクトルが (-6, 9)の直線として表す。
のいずれかとなります。
方向ベクトルは、(-6, 9)= 3* (-2, 3)より (-2, 3)としても構いません。

最後に、直線上の 2点をとって、それぞれの変換した後の点を結ぶというのは、
1次変換の線形性により直線は直線に変換されるということを暗黙に利用していることになります。

回答No.1

4028

点はどこでもいいので
計算しやすいところを選んだと思います。